题文
如图,经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M,交抛物线于点B,过点B作直线BC∥轴与抛物线交于点C(B、C不重合),连结CP.
(1)当时,求点A的坐标及BC的长; (2)当时,连结CA,问为何值时? (3)过点P作且,问是否存在,使得点E落在坐标轴上?若存在,求出所有满足要求的的值,并求出相对应的点E坐标;若不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)A(-4,0) ,BC="2" (2)m=2时 (3)存在 |
试题分析:解:(1)当m=2时,, 令y=0,得,∴ ∴A(-4,0) 当x=-1时,y=3,∴B(-1,3) ∵抛物线的对称轴为直线x=-2, 又∵B,C关于对称轴对称,∴BC=2.
(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图), 由已知得∠ACP=∠BCH=90°, ∴∠ACH=∠PCB 又∵∠AHC=∠PBC=90°, ∴△ACH∽△PCB, ∴. ∵抛物线的对称轴为直线x=-m,其中m>1, 又∵B,C关于对称轴对称, ∴, ∵ ∴ 又∵ ∴, ∴ ∴∴. (3)∵B,C不重合,∴m≠1.(I)当m>1时,BC=2(m-1),PM=m, BP=m-1. (i)若点E在x轴上(如图1), ∵∠CPE=90°,∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°, ∴∠BPC=∠MEP. 又∵∠CPB=∠PME=90°,PC=EP ∴△BPC≌△MEP,∴BC=PM, ∴2(m-1)=m, ∴m=2,此时点E的坐标是(-2,0). (II)当0<m<1时,BC=2(1-m),PM=m, BP=1-m, (i)若点E在x轴上, 易证△BPC≌△MEP,∴BC=PM, ∴2(1-m)=m,∴,此时点E的坐标是. (ii)若点E在y轴上, 过点P作PN⊥y轴于点N,易证△BPC≌△NPE,∴BP=NP=OM=1, ∴1-m=1,∴m=0(舍去). 综上所述,当m=2时,点E的坐标是(-2,0)或(0,4);当时,点E的坐标是 . 点评:难度系数较大,考生应熟练掌握抛物线的基本性质,包括对称轴的公式,抛物线的顶点等,相似三角形的判定,全等三角形的判定等等,综合知识,数形结合。 |
据专家权威分析,试题“如图,经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M,..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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