题文
(本题12分)已知两直线,分别经过点A(3,0),点B(-1,0),并且当两直线同时相交于y负半轴的点C时,恰好有,经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线交于点D,如图所示。
(1)求抛物线的函数解析式; (2)当直线绕点C顺时针旋转一个锐角时,它与抛物线的另一个交点为P(x,y),求四边形APCB面积S关于x的函数解析式,并求S的最大值; (3)当直线绕点C旋转时,它与抛物线的另一个交点为P,请找出使△PCD为等腰三角形的点P,并求出点P的坐标。 |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)可由两角相等证得:△BOC∽△COA。 得,即, ∴, ∴C(0,-) 设,把(0,-)代入,得a=, ∴抛物线的函数解析式为 (2) (0<x<3) 当x=时,S的最大值是 (3)可得直线为,直线为, 抛物线的对称轴为,抛物线顶点为(1,),由此得D(1,) ① 以点D为圆心,线段DC长为半径画弧,交抛物线于点,由抛物线对称性可知点为点C关于直线的对称点, ∴点(2,),此时△为等腰三角形; ② 当以点C为圆心,线段CD长为半径画弧时,与抛物线交点为点和点B,而三点B、C、D在同一直线上,不能构成三角形; ③ 作线段DC的中垂线,交CD于点M,交抛物线于点P2,P3,交y轴于点F, 因为BO=1,,所以∠MCF=∠OCB=30°, 而CD=2,CM=CD=1,则CF=,OF=, 则F(0,),因∥,所以直线为, 代入,解得x=1或x=2, 说明P2就是顶点(1,), P3就是P1(2,) 综上所述,当点P为(-2,)或(1,)时,△PCD为等腰三角形。 |
试题分析:(1)由两组底脚相等,推导出两个三角形相似,从而确立C点坐标,再结合AB两点的坐标,可以求得二次函数解析式。 (2)由于绕C点运动,因此P的坐标设为(x,y),四边形面积可以写为,无未知量,和可以由的高分别为-y和x,又P点为抛物线上一点,所以可以算出y和x的关系式,进而求出S与x的函数式。由于解出来的函数为二次函数,x的取值范围已知,求出函数对称轴,得出函数对称轴在此范围内,所以要求最大值,实际上则是代入对称轴所对应的x值,可得出S。 (3)通过分类讨论,各种不同的情况所对应的等腰三角形也不相同,由已知条件可以推导出两条直线的方程,结合函数图像,可以得出P点的坐标。 点评:一般试卷最后一道题都是综合性的题目,学生需要掌握几何图形以及函数图形、函数表达式的知识,从而将复杂的题目简单化,进而可以求出一些未知量。 |
据专家权威分析,试题“(本题12分)已知两直线,分别经过点A(3,0),点B(-1,0),并且当两..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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