题文
平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交于点C,点 A的坐标为(1,0),OB=OC,抛物线的顶点为D. (1)求此抛物线的解析式; (2)若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB,求点P的坐标; (3)在(1)的条件下,对于实数c、d,我们可用min{ c,d }表示c、d两数中较小的数,如min{3,}=.若关于x的函数y = min{,}的图象关于直线对称,试讨论其与动直线交点的个数。 |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1);(2)、; (3)当时,动直线与函数图象无交点; 当时,动直线与函数图象有唯一的一个交点; 当时,动直线与函数图象有两个交点; 当时,动直线与函数图象有三个交点; 当时,动直线与函数图象有四个交点; 当时,动直线与函数图象有三个交点; 当时,动直线与函数图象有三个交点. |
试题分析:(1)首先将已知的抛物线解析式进行配方,得出对称轴方程后结合A点坐标可确定B点的坐标,由OB=OC的条件能得到C点坐标,利用待定系数法即可确定函数的解析式. (2)此题需要进行适当转化,首先作△ABC的外切圆,根据圆周角定理可知:P点应为抛物线对称轴与⊙E的交点,那么只需求出圆心E的坐标和⊙E的半径即可得到P点坐标.首先由A、B的坐标可确定F点的坐标以及AF的长,而弦BC的垂直平分线过点E,由此可确定该中垂线的解析式,进一步可确定点E的坐标;然后在Rt△AEF中,通过解直角三角形可得到圆的半径长,由此求出全部条件; (3)由题意可知所求得的函数的解析式为,由函数图象分、、、、、、等情况分析. (1)∵ , ∴ 抛物线的对称轴为直线. ∵ 抛物线与x轴交于 点A、点B,点A的坐标为, ∴ 点B的坐标为,OB=3. 可得该抛物线的解析式为. ∵ OB=OC,抛物线与y轴的正半轴交于点C, ∴ OC=3,点C的坐标为. 将点C的坐标代入该解析式,解得a=1. ∴ 此抛物线的解析式为. (2)作△ABC的外接圆☉E,设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F,设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点,点关于x轴的对称点为点,点、点均为所求点.
可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上. ∵、都是弧AB所对的圆周角, ∴,且射线FE上的其它点P都不满足. 由(1)可知 ∠OBC=45°,AB=2,OF=2. 可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上. ∴ 点E的坐标为. ∴ 由勾股定理得 . ∴ . ∴ 点的坐标为. 由对称性得点的坐标为. ∴符合题意的点P的坐标为、. (3)由题意可知,原二次函数的解析式为可得, 所求得的函数的解析式为 由函数图象可知:当时,动直线与函数图象无交点; 当时,动直线与函数图象有唯一的一个交点; 当时,动直线与函数图象有两个交点; 当时,动直线与函数图象有三个交点; 当时,动直线与函数图象有四个交点; 当时,动直线与函数图象有三个交点; 当时,动直线与函数图象有三个交点. 点评:这道二次函数题由于融合了圆、解直角三角形、轴对称图形等重点知识,难度较大;(2)中,将角相等转化为圆的相关问题是打开解题突破口的关键,应注意并总结转化思想在解题中的妙用. |
据专家权威分析,试题“平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
|