题文
如图,在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式; (2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长; (3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点Q在点P的上方),且PQ=1,要使四边形BCPQ的周长最小,请直接写出P点的坐标. |
题型:解答题 难度:中档
答案
试题分析:(1)先根据题意得到点A、B、C的坐标,再根据待定系数法即可求得结果; (2)先把(1)中的函数关系式配方为顶点式,即可求得顶点坐标,过G作GH⊥AB,垂足为H.即可得到AH=BH=1,GH=-2=.由EA⊥AB,GH⊥AB,可得GH是△BEA的中位线,从而可得EA=3GH=.过B作BM⊥OC,垂足为M.MB=OA=AB.由∠EBF=∠ABM=90°,可得∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF.即可证得Rt△EBA≌Rt△FBM.再根据全等三角形的性质即可求得结果; (3)要使四边形BCPQ的周长最小,可将点C向上平移一个单位,再做关于对称轴对称的对称点C1,得点C1的坐标为(-1,1).可求出直线BC1的解析式为.再求的直线与对称轴x=1的交点即为点Q,坐标为(1,).从而得到结果. (1)由题意得A(0,2)、B(2,2)、C(3,0). 设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2. 则解得 ∴; (2)由=. ∴顶点坐标为G(1,). 过G作GH⊥AB,垂足为H. 则AH=BH=1,GH=-2=. ∵EA⊥AB,GH⊥AB, ∴EA∥GH. ∴GH是△BEA的中位线 . ∴EA=3GH=. 过B作BM⊥OC,垂足为M . 则MB=OA=AB. ∵∠EBF=∠ABM=90°, ∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF. ∴Rt△EBA≌Rt△FBM. ∴FM=EA=. ∵CM=OC-OM=3-2=1, ∴CF=FM+CM=; (3)要使四边形BCPQ的周长最小,可将点C向上平移一个单位,再做关于对称轴对称的对称点C1,得点C1的坐标为(-1,1).可求出直线BC1的解析式为. 直线与对称轴x=1的交点即为点Q,坐标为(1,).点P的坐标为(1,). 点评:二次函数的综合题是初中数学的重点和难点,在中考中极为常见,一般压轴题形式出现,难度较大. |
据专家权威分析,试题“如图,在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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