题文
已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的解析式和对称轴; (2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC是以AC为斜边的Rt△时,求点P的坐标; (3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由; (4)设过点A的直线与抛物线在第一象限的交点为N,当△ACN的面积为时,求直线AN的解析式. |
题型:解答题 难度:偏易
答案
(1)y=-x2+2x+3 (2) P1(1,1),P2(1,2) (3) |
试题分析: 解:(1)将三点代入y=ax2+bx+c中,易求解析式为: 对称轴为:直线 (2)设点P(1,y)是直线l上的一个动点,作CF⊥l于F,l交x轴于E, 则AC2=AO2+CO2=10,CP2=CF2+PF2=1+(3-y)2= AP2=AE2+PE2=4+y2, ∴由CP2+AP2=AC2, 得:+4+y2=10,解得或 ∴P点的坐标为P1(1,1)、P2(1, 2) 解法二; 用△相似解法更简单如下: ∵CP⊥AP,∴△CPF∽△PAE,∴,∴∴解得或 (3) 设点M(1,m), 与(2)同理可得:AC2=10,CM2=,AM2=4+m2 ①当AC=CM时,10=,解得:m=0或m=6(舍去) ②当AC=AM时,10=4+m2, 解得:m=或m= ③当CM=AM时,=4+m2,解得:m=1 检验:当m=6时,M、A、C三点共线,不合题意,故舍去; 综上可知,符合条件的M点有4个, M坐标为(1,0) 、(1,)、(1,-)、(1,1)
(4)设直线AN的解析式为,且交y轴于点K,∵过点A(―1, 0),∴, ∴K(0,k),∵N是直线AN与抛物线的交点,∴,解得x=3―k, 或x=―1(舍去),∴N点的横坐标为x=3―k(k<3) 由S△ACN=S△ACK+S△CKN=CK·OA+CK·NJ=(3―k)×1+(3―k)2 = 令=,解得k=(舍去),或k=, ∴直线AN的解析式为 点评:熟知上述性质概念,本题综合性很强,运用的知识点很多,要认真审题才可解之,还需做辅助线求得,在二问中有两个答案易漏求,求得方法也不唯一,三问中可求有五个点,有一个不合题意需舍去,四问中同样也有一个要舍去,计算量较多,易出错,难度较大,属于难题。 |
据专家权威分析,试题“已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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