题文
如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F.抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点.
(1)求该抛物线的函数解析式; (2)点P为线段OC上一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)若△AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S.试探究S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
试题分析:(1)由抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C即可根据待定系数法求得抛物线解析式; (2)设点P的横坐标为t,由PN∥CD,可证得△OPN∽△OCD,根据相似三角形的性质可得PN=,则可得点P坐标为(t,),由点M在抛物线上可得M(t,t2+t),过M点作MG⊥AB于G,过P点作PH⊥AB于H,则AG=yA﹣yM=2﹣(t2+t)=t2﹣t+2,BH=PN=,当AG=BH时,四边形ABPM为等腰梯形,即可得到关于t的方程,解出即可得到结果; (3)如解答图2,△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′,A′B′交x轴于T,交OC于Q,A′O′交x轴于K,交OC于R.求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3,可设点A′的横坐标为a,则点A′(a,﹣a+3),易知△OQT∽△OCD,可得QT=,OH=2RH,即可得到点Q的坐标,从而表示出A′Q的长,先求出tan∠O′A′B′=tan∠OAB=,即可表示出KT、OK,过点R作RH⊥x轴于H,先表示出S关于a的函数关系式,再根据二次函数的性质即可求得结果. (1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C, 可得c=0,∴ 解得a=,b=, ∴抛物线解析式为y=x2+x. (2)设点P的横坐标为t,∵PN∥CD,∴△OPN∽△OCD,可得PN= ∴P(t,),∵点M在抛物线上,∴M(t,t2+t). 如解答图1,过M点作MG⊥AB于G,过P点作PH⊥AB于H, AG=yA﹣yM=2﹣(t2+t)=t2﹣t+2,BH=PN=. 当AG=BH时,四边形ABPM为等腰梯形, ∴t2﹣t+2=, 化简得3t2﹣8t+4=0,解得t1=2(不合题意,舍去),t2=, ∴点P的坐标为(,) ∴存在点P(,),使得四边形ABPM为等腰梯形. (3)如解答图2,△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′,A′B′交x轴于T,交OC于Q,A′O′交x轴于K,交OC于R. 求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3,可设点A′的横坐标为a,则点A′(a,﹣a+3),
易知△OQT∽△OCD,可得QT=,OH=2RH ∴点Q的坐标为(a,). A′Q=﹣a+3﹣=(3﹣a) ∵AB=2,OB=1,∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=, ∴KT=A′T?tan∠O′A′B′=(﹣a+3)?=a+, ∴OK=OT﹣KT=a﹣(a+)=a﹣, 过点R作RH⊥x轴于H, ∵tan∠OAB=tan∠KRH==2, ∴RH=2KH,OH=4RH=2a﹣2 ∴HT=a-(2 a﹣2)=2-a S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=?KT?A′T﹣A′Q?HT =??(3﹣a)﹣?(3﹣a)?(﹣a+2) =a2+a﹣=(a﹣)2+ 由于<0, ∴在线段AC上存在点A′(,),能使重叠部分面积S取到最大值,最大值为. 点评:二次函数的综合题是初中数学的重点和难点,在中考中极为常见,一般以压轴题形式出现,难度较大. |
据专家权威分析,试题“如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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