题文
如图,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm.如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/s.连接PQ,设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤4).
(1)当t为何值时,PQ∥BC. (2)设△AQP的面积为S(单位:cm2),当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值. (3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)s;(2)t=s时,S取得最大值为cm2;(3)不存在 |
试题分析:(1)由PQ∥BC可得,即,解出即可; (2)先根据勾股定理的逆定理证得∠C=90°,过P点作PD⊥AC于点D,则PD∥BC,,即,解得PD=6﹣t,即可得到S关于t的二次函数,根据二次函数的性质即可求得结果; (3)假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分,则有S△AQP=S△ABC=12.由(2)可知,S△AQP=﹣t2+6t,则有﹣t2+6t=12,根据此方程无解,即可作出判断. (1)∵PQ∥BC ∴ 即 解得t= ∴当t=s时,PQ∥BC (2)∵AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm, ∴∠C=90° 过P点作PD⊥AC于点D.
∴PD∥BC, ∴, 即, 解得PD=6﹣t ∴S=×AQ×PD=×2t×(6﹣t) =﹣t2+6t=﹣(t﹣)2+, ∴当t=s时,S取得最大值,最大值为cm2 (3)假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分, 则有S△AQP=S△ABC=12. 由(2)可知,S△AQP=﹣t2+6t, ∴﹣t2+6t=12, 化简得:t2﹣5t+10=0, ∵△=(﹣5)2﹣4×1×10=﹣15<0,此方程无解, ∴不存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分. 点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型. |
据专家权威分析,试题“如图,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm.如果点P由B出发沿BA..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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