题文
如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C,点D在线段OC上,OD=t,点E在第二象限,∠ADE=90°,tan∠DAE=,EF⊥OD,垂足为F.
(1)求这个二次函数的解析式; (2)求线段EF、OF的长(用含t的代数式表示); (3)当△ECA为直角三角形时,求t的值. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)y=﹣2x2+6x+8;(2)EF=t,OF=t﹣2;(3)或8 |
试题分析:(1)由二次函数的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0)根据待定系数法求解; (2)先根据同角的余角相等可得∠DEF=∠ODA,即可证得△EDF∽△DAO,根据相似三角形的性质可得,即可得到EF的长,同理可得DF的长,即可求得OF的长; (3)先求的抛物线与y轴的交点C,即得OC的长,过E点作EM⊥x轴于点M,则在Rt△AEM中,EM=OF=t﹣2,AM=OA+AM=OA+EF=4+t,分当∠CEA=90°时,当∠ECA=90°时,两种情况,根据勾股定理列方程求解即可. (1)二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0), ∴,解得, ∴这个二次函数的解析式为:y=﹣2x2+6x+8; (2)∵∠EFD=∠EDA=90° ∴∠DEF+∠EDF=90°,∠EDF+∠ODA=90°, ∴∠DEF=∠ODA ∴△EDF∽△DAO ∴. ∵, ∴=, ∴, ∴EF=t. 同理, ∴DF=2 ∴OF=t﹣2. (3)∵抛物线的解析式为:y=﹣2x2+6x+8, ∴C(0,8),OC=8. 如图,过E点作EM⊥x轴于点M
则在Rt△AEM中,EM=OF=t﹣2,AM=OA+AM=OA+EF=4+t, 当∠CEA=90°时,CE2+AE2=AC2
解得 当∠ECA=90°时,CE2+AC2=AE2
解得 即点D与点C重合. 点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型. |
据专家权威分析,试题“如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4,..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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