题文
如图,已知A(﹣4,0),B(0,4),现以A点为位似中心,相似比为9:4,将OB向右侧放大,B点的对应点为C.
(1)求C点坐标及直线BC的解析式; (2)一抛物线经过B、C两点,且顶点落在x轴正半轴上,求该抛物线的解析式并画出函数图象; (3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P. |
题型:解答题 难度:中档
答案
试题分析:(1)利用相似及相似比,可得到C的坐标.把A,B代入一次函数解析式即可求得解析式的坐标. (2)顶点落在x轴正半轴上说明此函数解析式与x轴有一个交点,那么△=0,再把B,C两点即可. (3)到直线AB的距离为的直线有两条,可求出这两条直线解析式,和二次函数解析式组成方程组,求得点P坐标. (1)过C点向x轴作垂线,垂足为D,
由位似图形性质可知:△ABO∽△ACD, ∴. 由已知,可知:. ∴. ∴C点坐标为. 设直线BC的解析式为: y=kx+4,将(5,9)代入得5k+4=9,解得k=1. 所以y=x+4. (2)因为抛物线顶点在x轴正半轴,所以设顶点坐标为(h,0),则设抛物线解析式为y=a(x-h)2. 将(0,4),(5,9)代入函数解析式得,解得或者. ∴解得抛物线解析式为或. 又∵的顶点在x轴负半轴上,不合题意,故舍去. ∴满足条件的抛物线解析式为 (准确画出函数图象) (3)将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,设P到 直线AB的距离为h, 故P点应在与直线AB平行,且相距的上下两条平行直线和上. 由平行线的性质可得:两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为. 设与y轴交于E点,过E作EF⊥BC于F点, 在Rt△BEF中,, ∴. ∴可以求得直线与y轴交点坐标为 同理可求得直线与y轴交点坐标为 ∴两直线解析式;. 根据题意列出方程组:(1);(2) ∴解得:;;; ∴满足条件的点P有四个,它们分别是,,,. 点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型. |
据专家权威分析,试题“如图,已知A(﹣4,0),B(0,4),现以A点为位似中心,相似比为9:4,..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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