题文
如图,抛物线y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A(4,0),B(-2,0),与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式; (2)M为第一象限内抛物线上一动点,点M在何处时,△ACM的面积最大; (3)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P,使得△PAC为直角三角形?若存在,请求出所有可能点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)y=-x2+2x+8;(2)(2,8);(3)(1,4+)或(1,4-) |
试题分析:(1)由抛物线股过点A(4,0),B(-2,0)根据待定系数法求解即可; (2)设M坐标为(a,-a 2+2a+8),先求得点C的坐标,再求得直线AC的解析式,过点M作x轴的垂线,交AC于N,则N的坐标为(a,-2a+8),根据△ACM的面积=△MNC的面积+△AMN的面积再结合二次函数的性质求解即可; (3)分①当∠ACP=90°时,②当∠CAP=90°时,③当∠APC=90°时,这三种情况分析即可. (1)∵y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A(4,0),B(-2,0), ∴解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+8; (2)设M坐标为(a,-a 2+2a+8),其中a>0. ∵抛物线与y轴交于点C, ∴C(0,8). ∵A(4,0),C(0,8). ∴直线AC的解析式为y=-2x+8. 过点M作x轴的垂线,交AC于N,则N的坐标为(a,-2a+8). ∴△ACM的面积=△MNC的面积+△AMN的面积=-a 2+4a=-(a-2)2+4 当a=2,即M坐标为(2,8)时,△ACM的面积最大,最大面积为4; (3)①当∠ACP=90°时,点P的坐标为(1,9.5); ②当∠CAP=90°时,点P的坐标为(1,-1.5); ③当∠APC=90°时,点P的坐标为(1,4+)或(1,4-). 点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型. |
据专家权威分析,试题“如图,抛物线y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A(4,0),B(-2,0),与y轴..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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