题文
已知抛物线的顶点(-1,-4)且过点(0,-3),直线l是它的对称轴。
(1)求此抛物线的解析式; (2)设抛物线交x轴于点A、B(A在B的左边),交y轴于点C,P为l上的一动点,当△PBC的周长最小时,求P点的坐标。 (3)在直线l上是否存在点M,使△MBC是等腰三角形,若存在,直接写出符合条件的点M的坐标;若不存在请说明理由。 |
题型:解答题 难度:中档
答案
试题分析:(1)抛物线的顶点(-1,-4),则设抛物线的顶点式为,因为抛物线过点(0,-3),所以,解得a=1,所以抛物线的解析式 (2)由(1)知抛物线的解析式 ∵直线l是它的对称轴 ∴它的对称轴x=-1 抛物线交x轴于点A、B(A在B的左边),令y=0,则,解得x=-3,x=1,所以A点的坐标(-3,0),B点的坐标(1,0);抛物线交y轴于点C,令x=0,则,所以C点的坐标(0,-3);P为l上的一动点,当△PBC的周长=PB+PC+BC,因为BC的长度一定,所以要使△PBC的周长最小,即PB+PC最小,作点B关于对称轴的对称点,坐标为(-3,0),即是A点,设过A、C的直线为y=kx+b,则 解得,所以过点A、C的直线为y=x-3,则P点即为直线为y=x-3与对称轴的交点,解得 (3)存在,)直线l为x=-1,它与X轴的交点为N(-1,0),由(2)知B点的坐标(1,0),所以它们两点是关于原点对称,此时这三点构成了等腰三角形,M点即为对称轴与X轴的交点,所以M的坐标(-1,0);当△MBC是等腰三角形,并以BC为△MBC的底边,设M的坐标为(-1,y);此时需满足MB=MC,而MB=,MC=,解得y=-1,y=,所以,当y=-1时M的坐标为,当y=,M的坐标为;综上所述满足条件的M的坐标为 点评:本题考查抛物线,要求考生掌握抛物线的性质,会用待定系数法求抛物线的解析式,会求抛物线与坐标轴的交点坐标,以及对称轴 |
据专家权威分析,试题“已知抛物线的顶点(-1,-4)且过点(0,-3),直线l是它的对称轴。(1..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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