题文
如图1,已知菱形ABCD的边长为2,点A在x轴负半轴上,点B在坐标原点.点D的坐标为(,3),抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点.
(1)求这条抛物线的函数解析式; (2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF、AF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0<t<) ①当t=1时,△ADF与△DEF是否相似?请说明理由; ②连接FC,以点F为旋转中心,将△FEC按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时,求t的取值范围.(写出答案即可) |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)y=﹣x2+3 (2)①由对应边成比例可证得 ②画出旋转后的图形,认真分析满足题意要求时,需要具备什么样的限制条件,然后根据限制条件列出不等式,求出t的取值范围.确定限制条件是解题的关键 |
试题分析:解:(1)由题意得AB的中点坐标为(﹣,0), CD的中点坐标为(0,3), 2分
分别代入y=ax2+b得 ,解得,, ∴y=﹣x2+3. 3分 (2)①如图2所示,在Rt△BCE中,∠BEC=90°,BE=3,BC=2
∴sinC===,∴∠C=60°,∠CBE=30° ∴EC=BC=,DE= 4分 又∵AD∥BC,∴∠ADC+∠C=180° ∴∠ADC=180°﹣60°=120° 5分 ∵t=1, ∴B点为(1,0) ∴F(1,2) ,E(1,3) ∴EF=1 6分 在Rt△DEF中 tan∠EDF= ∴∠EDF=300 ∴∠ADF=∠ADC—∠EDF=1200—300=900 ∴∠ADF=∠DEF ∴DF=2EF=2 7分 又∵, ∴ ∴△ADF∽△DEF 8分 ②如图3所示,依题意作出旋转后的三角形△FE′C′,过C′作MN⊥x轴,分别交抛物线、x轴于点M、点N.
观察图形可知,欲使△FE′C′落在指定区域内,必须满足:EE′≤BE且MN≥C′N. ∵F(t,3﹣t2),∴EF=3﹣(3﹣t2)=t2,∴EE′=2EF=2t2, 由EE′≤BE,得2t2≤3,解得t≤. ∵C′E′=CE=,∴C′点的横坐标为t﹣, ∴MN=3﹣(t﹣)2,又C′N=BE′=BE﹣EE′=3﹣2t2, 由MN≥C′N,得3﹣(t﹣)2≥3﹣2t2,解得t≥. ∴t的取值范围为:. 11分 点评:本题是中考压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、几何变换(平移与旋转)、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等重要知识点,难度较大,对考生能力要求很高. |
据专家权威分析,试题“如图1,已知菱形ABCD的边长为2,点A在x轴负半轴上,点B在坐标原点..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
|