题文
已知抛物线 经过A(2,0). 设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.
(1)求b的值和点P、B的坐标; (2)如图,在直线上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在轴下方的抛物线上是否存在点M,使△AMP≌△AMB?如果存在,试举例验证你的猜想;如果不存在,试说明理由. |
题型:解答题 难度:偏易
答案
(1)顶点P的坐标为(4,-2)点B的坐标是(6,0). (2)存在;D点的坐标为(2,2)(3)可通过证明AM="AM," ∠PAM=∠BAM,AB=AP,证明△AMP≌△AMB. |
试题分析: 解:(1)∵抛物线经过A(2,0), ∴, 解得, ∴抛物线的解析式为. 将抛物线配方,得, ∴顶点P的坐标为(4,-2). 令y=0,得,解得. ∴点B的坐标是(6,0). (2)在直线 y=x上存在点D,使四边形OPBD为平行四边形. 理由如下:设直线PB的解析式为+b,把B(6,0),P(4,-2)分别代入,得 解得 ∴直线PB的解析式为. 又∵直线OD的解析式为,∴直线PB∥OD. 解法一:设直线OP的解析式为,把P(4,-2)代入,得,解得. 如果OP∥BD,那么四边形OPBD为平行四边形. 设直线BD的解析式为,将B(6,0)代入,得0=, ∴ ∴直线BD的解析式为,解方程组得 ∴D点的坐标为(2,2) 解法二:过点P作x轴的垂线,垂足为点C,则PC=2,AC=2, 由勾股定理,可得AP=4,PB=4,又∵AB=4,∴△APB是等边三角形∠PBA=∠DOB=60°, 设点D的坐标为(,),得=, ∴D点的坐标为(2,2) (3)符合条件的点M存在. 验证如下:过点P作x轴的垂线,垂足为点C,则PC=2,AC=2, 由勾股定理,可得AP=4,PB=4, 又∵AB=4,∴△APB是等边三角形,作∠PAB的平分线交抛物线于M点,连接PM,BM,由于AM="AM," ∠PAM=∠BAM,AB=AP, ∴△AMP≌△AMB. 因此即存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.
点评:本题难度较大,主要考查学生对一次函数和抛物线综合运用解决几何问题的能力,为中考常考题型,注意培养数形结合思想分析能力,并运用到考试中去。 |
据专家权威分析,试题“已知抛物线经过A(2,0).设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.(1)求..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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