题文
如图,已知在△ABC中,∠A = 90°,,经过这个三角形重心的直线DE // BC,分别交边AB、AC于点D和点E,P是线段DE上的一个动点,过点P分别作PM⊥BC,PF⊥AB,PG⊥AC,垂足分别为点M、F、G.设BM = x,四边形AFPG的面积为y.
(1)求PM的长; (2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域; (3)联结MF、MG,当△PMF与△PMG相似时,求BM的长. |
题型:解答题 难度:中档
答案
试题分析:解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为点H,交DE于点Q. ∵ ∠BAC = 90°,,∴BC = 6. 又∵ AH⊥BC,∴ ,Q是△ABC的重心. ∴ . ∵ DE // BC,PM⊥BC,AH⊥BC, ∴ PM = QH = 1. (2)延长FP,交BC于点N. ∵ ∠BAC = 90°,AB = AC,∴ ∠B = 45°. 于是,由 FN⊥AB,得 ∠PNM = 45°. 又由 PM⊥BC,得 MN = PM = 1,. ∴ BN = BM +MN = x +1,. ∴ , . ∵ PF⊥AB,PG⊥AC,∠BAC = 90°,∴ ∠BAC =∠PFA =∠PGA = 90°. ∴ 四边形AFPG是矩形. ∴ , 即 所求函数解析式为. 定义域为. (3)∵ 四边形AFPG是矩形,∴ . 由 ∠FPM =∠GPM = 135°,可知,当△PMF与△PMG相似时,有两种 情况:∠PFM =∠PGM或∠PFM =∠PMG. (ⅰ)如果 ∠PFM =∠PGM,那么 .即得 PF = PG. ∴ . 解得 x = 3.即得 BM = 3. (ⅱ)如果 ∠PFM =∠PMG,那么 .即得 . ∴ . 解得 ,. 即得 或. ∴ 当△PMF与△PMG相似时,BM的长等于或3或. 点评:该题相对较复杂,主要考查学生对几何图中线段的关系、面积等的表达式,求线段的长度除了可以直接求得,还可以通过等量代换求出。 |
据专家权威分析,试题“如图,已知在△ABC中,∠A=90°,,经过这个三角形重心的直线DE//BC..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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