题文
如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点A、D在抛物线上,且AD平行x轴,交y轴于点F,AB的中点E在x轴上,B点的坐标为(2,1),点P(a,b)在抛物线上运动.(点P异于点O).
(1)求此抛物线的解析式; (2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R; ①求证:PF=PR ②是否存在点P,使得△PFR为等边三角形;若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. ③延长PF交抛物线于另一点Q,过Q作BC所在直线的垂线,垂足为点S,试判断△RSF的形状. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1);(2)①过点P作PG⊥y轴,垂足为G,由题意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1),则,,,根据点P(a,b)为抛物线上的动点可得,变形得:,在Rt△PGF中,根据勾股定理即可证得结论;②存在,(,-3),(,-3);③直角三角形 |
试题分析:(1)由题意可得点A的坐标为(2,-1),根据抛物线的顶点为坐标原点O可设抛物线的解析式为,再将点A(2,-1)代入即可求得结果; (2)①过点P作PG⊥y轴,垂足为G,由题意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1),则,,,根据点P(a,b)为抛物线上的动点可得,变形得:,在Rt△PGF中,根据勾股定理即可证得结论; ②由P(a,b),F(0,-1),R(a,1),根据勾股定理可表示出RF的长,由①可知:PF=PR=1-b,则可得当时△PFR为等边三角形,从而可以求得结果; ③连接SF、RF,由PF=PR;PR∥FO可得∠1=∠2,∠1=∠3,即得,同理可得,则,即可得到结果. (1)由题意可得:点A的坐标为(2,-1) ∵抛物线的顶点为坐标原点O ∴可设抛物线的解析式为:; 将点A(2,-1)代入可得:;解得, ∴抛物线的解析式为:; (2)①过点P作PG⊥y轴,垂足为G
由题意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1) ∴,, ∵点P(a,b)为抛物线上的动点 ∴,变形得: 在Rt△PGF中,由勾股定理可得: ∴PF=PR; ②存在点P,使得△PFR为等边三角形; ∵P(a,b),F(0,-1),R(a,1) ∴ 由①可知:PF=PR=1-b ∴当时△PFR为等边三角形 解得:,(不合题意,舍去) ∴当时,有,解得:, ∴点P的坐标为(,-3),(,-3); ③△RSF为直角三角形. 如图,连接SF、RF
∵PF=PR;PR∥FO ∴∠1=∠2;∠1=∠3 ∴ 同理可得: ∴ ∴△RSF为直角三角形. 点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型. |
据专家权威分析,试题“如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点A、D在抛..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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