题文
如图,已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点, A点的坐标为(-1,0),过点C的直线y=x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.
(1)填空:点C的坐标是 ,b= ,c= ; (2)求线段QH的长(用含t的式子表示); (3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)(0,-3),-,-3;(2)|4-8t|;(3)t1=-1,t2=,t3= |
试题分析:(1)由于直线y=x-3过C点,因此C点的坐标为(0,-3),那么抛物线的解析式中c=-3,然后将A点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出b的值; (2)求QH的长,需知道OQ,OH的长.根据CQ所在直线的解析式即可求出Q的坐标,也就得出了OQ的长,然后求OH的长.在(1)中可得出抛物线的解析式,那么可求出B的坐标.在直角三角形BPH中,可根据BP=5t以及∠CBO的正弦值(可在直角三角形COB中求出).得出BH的长,根据OB的长即可求出OH的长.然后OH,OQ的差的绝对值就是QH的长; (3)本题要分①当H在Q、B之间.②在H在O,Q之间两种情况进行讨论;根据不同的对应角得出的不同的对应成比例线段来求出t的值. (1)(0,-3),b=-,c=-3. (2)由(1),得y=x2-x-3,它与x轴交于A,B两点,得B(4,0). ∴OB=4, 又∵OC=3, ∴BC=5. 由题意,得△BHP∽△BOC, ∵OC∶OB∶BC=3∶4∶5, ∴HP∶HB∶BP=3∶4∶5, ∵PB=5t, ∴HB=4t,HP=3t. ∴OH=OB-HB=4-4t. 由y=x-3与x轴交于点Q,得Q(4t,0). ∴OQ=4t. ①当H在Q、B之间时,QH=OH-OQ=(4-4t)-4t=4-8t. ②当H在O、Q之间时,QH=OQ-OH=4t-(4-4t)=8t-4. 综合①,②得QH=|4-8t|; (3)存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似. ①当H在Q、B之间时,QH=4-8t, 若△QHP∽△COQ,则QH∶CO=HP∶OQ,得=,解得t= 若△PHQ∽△COQ,则PH∶CO=HQ∶OQ,得=,解得t1=-1,t2=--1(舍去). ②当H在O、Q之间时,QH=8t-4. 若△QHP∽△COQ,则QH∶CO=HP∶OQ,得=,解得t=. 若△PHQ∽△COQ,则PH∶CO=HQ∶OQ,得=,解得t1=t2=1(舍去). 综上所述,存在的值,t1=-1,t2=,t3=. 点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型. |
据专家权威分析,试题“如图,已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点,A点的坐标为..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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