题文
如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与 轴交于A(,0),B(2,0),且与轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式,并判断△ABC的形状; (2)点P是x轴下方的抛物线上一动点, 连接PO,PC, 并把△POC沿CO翻折,得到四边形,求出使四边形为菱形的点P的坐标; (3) 在此抛物线上是否存在点Q,使得以A,C,B,Q四点为顶点的四边形是直角梯形?若存在, 求出Q点的坐标;若不存在,说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)抛物线的解析式为,△ABC是直角三角形 (2)P点的坐标为(,) 或(,) (3)存在,满足题目条件的点Q为(,)或(-,9) |
试题分析:(1) 根据题意,将A(,0),B(2,0)代入中,解得 抛物线的解析式为 当=0时,. ∴点C的坐标为(-1,0). ∴在△AOC中,AC===。 在△BOC中,BC===。 AB=OA+OB=+2=,∵AC 2+BC 2=+5=="AB" 2, ∴△ABC是直角三角形。 (2) 设P点坐标为(x,),交CO于E ∵四边形POPC是菱形,∴PC=PO. 连结 则PE⊥CO于E,∴OE=EC= ∴=. ∴= 解得=,= ∴P点的坐标为(,) 或(,) (3)存在。由(1)知,AC^BC,设Q点坐标为(,) ①若以BC为底边,则BC//AQ,∴∠ABC=∠QAB 如图① 过点Q作QE⊥x轴于点E,则有△QAE∽△ABC ∴ ∴ 解得1= 2= -(舍去)。 当=时,y= ,∴点Q(,)。 k若以AC为底边,则BQ//AC,∴∠CAB=∠QBA 过点Q作QF⊥x轴于点F,则有△QBF∽△BAC ∴ ∴ 解得1= 2=" 2" (舍去)。 当=时,y=9,∴点Q(,9)。 综上所述,满足题目条件的点Q为(,)或(-,9)。 点评:本题考查抛物线,勾股定理逆定理,相似三角形,解答本题需要考生掌握待定系数法,会用待定系数法求抛物线的解析式,熟悉勾股定理逆定理,会用其来判定一个三角形是否是直角三角形,掌握相似三角形的方法,会证明两个三角形相似 |
据专家权威分析,试题“如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与轴交于A(,0),B(2,..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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