题文
在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上,点P在AB上,PA=1,AO=2.经过原点的抛物线的对称轴是直线x=2.
(1)求出该抛物线的解析式. (2)如图1,将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处,两直角边恰好分别经过点O和C.现在利用图2进行如下探究: ①将三角板从图1中的位置开始,绕点P顺时针旋转,两直角边分别交OA、OC于点E、F,当点E和点A重合时停止旋转.请你观察、猜想,在这个过程中,的值是否发生变化?若发生变化,说明理由;若不发生变化,求出的值. ②设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为D,顶点为M,在①的旋转过程中,是否存在点F,使△DMF为等腰三角形?若不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1) (2)①的值不变。理由见解析 ②存在。理由见解析 |
分析:(1)根据抛物线过原点和对称轴为直线x=2这两个条件确定抛物线的解析式。 (2)①如答图1所述,证明Rt△PAE∽Rt△PGF,则有,的值是定值,不变化。 ②若△DMF为等腰三角形,可能有三种情形,需要分类讨论,避免漏解。 解:(1)∵抛物线经过原点,∴n=0。 ∵抛物线对称轴为直线x=2,∴,解得。 ∴抛物线的解析式为:。 (2)①的值不变。理由如下: 如答图1所示,过点P作PG⊥x轴于点G,则PG=AO=2.
∵PE⊥PF,PA⊥PG,∴∠APE=∠GPF。. 在Rt△PAE与Rt△PGF中, ∵∠APE=∠GPF,∠PAE=∠PGF=90°, ∴Rt△PAE∽Rt△PGF。 ∴。. ②存在。 抛物线的解析式为:, 令y=0,即,解得:x=0或x=4,∴D(4,0)。 又,∴顶点M坐标为(2,﹣1)。 若△DMF为等腰三角形,可能有三种情形: (ⅰ)FM=FD,如答图2所示,
过点M作MN⊥x轴于点N,则MN=1,ND=2,。 设FM=FD=x,则NF=ND﹣FD=2﹣x. 在Rt△MNF中,由勾股定理得:NF2+MN2=MF2, 即:,解得:。 ∴FD=,OF=OD﹣FD。 ∴F(,0)。 (ⅱ)若FD=DM.如答图3所示,
此时FD=DM=,∴OF=OD﹣FD=。 ∴F(,0)。 (ⅲ)若FM=MD, 由抛物线对称性可知,此时点F与原点O重合,而由题意可知,点E与点A重合后即停止运动,故点F不可能运动到原点O。 ∴此种情形不存在。 综上所述,存在点F(,0)或F(,0),使△DMF为等腰三角形。 |
据专家权威分析,试题“在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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