题文
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,0),(5,0),(3,﹣4).
(1)求该二次函数的解析式; (2)当y>﹣3,写出x的取值范围; (3)A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点,且距离为2,点C为二次函数图象上的动点,当点C运动到何处时△ABC的面积最小?求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值. |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)∵点(1,0),(5,0),(3,﹣4)在抛物线上, ∴,解得。 ∴二次函数的解析式为:y=x2﹣6x+5。 (2)在y=x2﹣6x+5中,令y=﹣3,即x2﹣6x+5=﹣3, 整理得:x2﹣6x+8=0,解得x1=2,x2=4。 结合函数图象,可知当y>﹣3时,x的取值范围是:x<2或x>4。 (3)设直线y=﹣2x﹣6与x轴,y轴分别交于点M,点N,
令x=0,得y=﹣6;令y=0,得x=﹣2, ∴M(﹣3,0),N(0,﹣6)。 ∴OM=3,ON=6,由勾股定理得:MN=, ∴。 设点C坐标为(x,y),则y=x2﹣6x+5。。 过点C作CD⊥y轴于点D, 则CD=x,OD=﹣y,DN=6+y。 过点C作直线y=﹣2x﹣6的垂线,垂足为E,交y轴于点F, 在Rt△CDF中,DF=CD?tan∠MNO=x,。 ∴FN=DN﹣DF=6+y﹣x。 在Rt△EFN中,EF=FN?sin∠MNO=(6+y﹣x), ∴CE=CF+EF=x+(6+y﹣x)。 ∵C(x,y)在抛物线上, ∴y=x2﹣6x+5,代入上式整理得:CE=(x2﹣4x+11)=(x﹣2)2+。 ∴当x=2时,CE有最小值,最小值为。 当x=2时,y=x2﹣6x+5=﹣3,∴C(2,﹣3)。 ∴△ABC的最小面积为: AB?CE=×2×=。 ∴当C点坐标为(2,﹣3)时,△ABC的面积最小,面积的最小值为。 |
试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式。 (2)求出y=3时x的值,结合函数图象,求出y>﹣3时x的取值范围。 (3)△ABC的底边AB长度为2,是定值,因此当AB边上的高最小时,△ABC的面积最小.如解答图所示,由点C向直线y=﹣2x﹣6作垂线,利用三角函数(或相似三角形)求出高CE的表达式,根据表达式求出CE的最小值,这样问题得解。 |
据专家权威分析,试题“已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,0),(5,0),(3,﹣..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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