题文
如图,抛物线y=ax2+c(a≠0)经过C(2,0),D(0,﹣1)两点,并与直线y=kx交于A、B两点,直线l过点E(0,﹣2)且平行于x轴,过A、B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为点M、N.
(1)求此抛物线的解析式; (2)求证:AO=AM; (3)探究: ①当k=0时,直线y=kx与x轴重合,求出此时的值; ②试说明无论k取何值,的值都等于同一个常数. |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)∵抛物线y=ax2+c(a≠0)经过C(2,0),D(0,﹣1), ∴,解得。 ∴抛物线的解析式为y=x2﹣1。 (2)证明:设点A的坐标为(m, m2﹣1), 则。 ∵直线l过点E(0,﹣2)且平行于x轴,∴点M的纵坐标为﹣2。 ∴AM=m2﹣1﹣(﹣2)=m2+1。 ∴AO=AM。 (3)①k=0时,直线y=kx与x轴重合,点A、B在x轴上, ∴AM=BN=0﹣(﹣2)=2, ∴。 ②k取任何值时,设点A(x1, x12﹣1),B(x2, x22﹣1), 则。 联立,消掉y得,x2﹣4kx﹣4=0, 由根与系数的关系得,x1+x2=4k,x1?x2=﹣4, ∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1?x2=16k2+8,x12?x22=16。 ∴。 ∴无论k取何值,的值都等于同一个常数1。 |
试题分析:(1)把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c,即可得解。 (2)根据抛物线解析式设出点A的坐标,然后求出AO、AM的长,即可得证。 (3)①k=0时,求出AM、BN的长,然后代入计算即可得解; ②设点A(x1, x12﹣1),B(x2, x22﹣1),然后表示出,再联立抛物线与直线解析式,消掉未知数y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系表示出x1+x2,x1?2,并求出x12+x22,x12?x22,然后代入进行计算即可得解。 |
据专家权威分析,试题“如图,抛物线y=ax2+c(a≠0)经过C(2,0),D(0,﹣1)两点,并与直线y..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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