题文
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线与x轴相交于O、B,顶点为A,连接OA.
(1)求点A的坐标和∠AOB的度数; (2)若将抛物线向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线m,其顶点为点C.连接OC和AC,把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′.试判断其形状,并说明理由; (3)在(2)的情况下,判断点C′是否在抛物线上,请说明理由; (4)若点P为x轴上的一个动点,试探究在抛物线m上是否存在点Q,使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形,且OC为该四边形的一条边?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)点A的坐标为(﹣2,﹣2),∠AOB=45°。 (2)四边形ACOC′为菱形。理由见解析 (3)点C′不在抛物线上。理由见解析 (4)存在符合条件的点Q。点Q的坐标为(6,4)。 |
试题分析:(1)由得,y=(x﹣2)2﹣2,故可得出抛物线的顶点A的坐标,过点A作AD⊥x轴,垂足为D,由∠ADO=90°可知点D的坐标,故可得出OD=AD,由此即可得出结论。 ∵由得,y=(x﹣2)2﹣2, ∴抛物线的顶点A的坐标为(﹣2,﹣2)。 如图1,过点A作AD⊥x轴,垂足为D,∴∠ADO=90°。 ∵点A的坐标为(﹣2,﹣2),点D的坐标为(﹣2,0), ∴OD=AD=2。∴∠AOB=45°。 (2)由题意可知抛物线m的二次项系数为,由此可得抛物线m的解析式过点C作CE⊥x轴,垂足为E;过点A作AF⊥CE,垂足为F,与y轴交与点H,根据勾股定理可求出OC的长,同理可得AC的长,OC=AC, 由翻折的轴对称性的性质可知,OC=AC=OC′=AC′,由此即可得出结论。 四边形ACOC′为菱形。理由如下: 由题意可知抛物线m的二次项系数为,且过顶点C的坐标是(2,﹣4), ∴抛物线m的解析式为:y=(x﹣2)2﹣4,即y=x2﹣2x﹣2。 如图,过点C作CE⊥x轴,垂足为E;过点A作AF⊥CE,垂足为F,与y轴交与点H,
∴OE=2,CE=4,AF=4,CF=CE﹣EF=2。 ∴。 同理,AC=。 ∴OC=AC。 由翻折的轴对称性的性质可知,OC=AC=OC′=AC′, ∴四边形ACOC′为菱形。 (3)过点C′作C′G⊥x轴,垂足为G,由于OC和OC′关于OA对称,∠AOB=∠AOH=45°,故可得出∠COH=∠C′OG,再根据CE∥OH可知∠OCE=∠C′OG,根据全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO,故可得出点C′的坐标把x=﹣4代入抛物线进行检验即可得出结论。 点C′不在抛物线上。理由如下: 如图,过点C′作C′G⊥x轴,垂足为G,
∵OC和OC′关于OA对称,∠AOB=∠AOH=45°,∴∠COH=∠C′OG。 ∵CE∥OH,∴∠OCE=∠C′OG。 又∵∠CEO=∠C′GO=90°,OC=OC′,∴△CEO≌△C′GO。∴OG=4,C′G=2。 ∴点C′的坐标为(﹣4,2)。 把x=﹣4代入抛物线得y=0。 ∴点C′不在抛物线上。 (4)∵点P为x轴上的一个动点,点Q在抛物线m上,
∴设Q(a,)。 ∵OC为该四边形的一条边,∴OP为对角线。 ∴CQ的中点在x上。 ∵C的坐标是(2,﹣4), ∴,解得a1=6,a 2=﹣2。 ∴Q(6,4)或(﹣2,4)(Q、O、C在一直线上,舍去)。 ∴点Q的坐标为(6,4)。 |
据专家权威分析,试题“如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线与x轴相交于O、B..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
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