题文
如图,抛物线经过△ABC的三个顶点,点A坐标为(0,3),点B坐标为(2,3),点C在x轴的正半轴上. (1)求该抛物线的函数关系表达式及点C的坐标; (2)点E为线段OC上一动点,以OE为边在第一象限内作正方形OEFG,当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时,求线段OE的长; (3)将(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移,记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG,当点E和点C重合时停止运动.设平移的距离为t,正方形DEFG的边EF与AC交于点M,DG所在的直线与AC交于点N,连接DM,是否存在这样的t,使△DMN是等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由; (4)在上述平移过程中,当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时,请直接写出重叠部分的面积S与平移距离t的函数关系式及自变量t的取值范围;并求出当t为何值时,S有最大值,最大值是多少?
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题型:解答题 难度:中档
答案
(1)。C(6,0)。 (2)OE=2。 (3)存在满足条件的t.理由见解析 (4)当t=时,S取得最大值,最大值为1。 |
试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式,令y=0解方程,求出点C的坐标。 (2)如答图1,由△CEF∽△COA,根据比例式列方程求出OE的长度。 (3)如答图2,若△DMN是等腰三角形,可能有三种情形,需要分类讨论。 (4)当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时,如答图3,由S=S正方形DEFG﹣S梯形MEDN﹣S△FJK求出S关于t的表达式,然后由二次函数的性质求出其最值。 解:(1)∵抛物线经过点A(0,3),B(2,3), ∴,解得:。 ∴抛物线的解析式为:。 令y=0,即,解得x=6或x=﹣4。 ∵点C位于x轴正半轴上,∴C(6,0)。 (2)当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时,如答图所示:
设OE=x,则EF=x,CE=OC﹣OE=6﹣x. ∵EF∥OA,∴△CEF∽△COA。 ∴,即。 解得x=2.∴OE=2。 (3)存在满足条件的t.理由如下: 如答图,
易证△CEM∽△COA, ∴,即,得。 过点M作MH⊥DN于点H, 则DH=ME=,MH=DE=2。 易证△MNH∽△COA,∴,即,得NH=1。 ∴DN=DH+HN=。 在Rt△MNH中,MH=2,NH=1,由勾股定理得:MN=。 当△DMN是等腰三角形时: ①若DN=MN,则=,解得t=。 ②若DM=MN,则DM2=MN2,即22+()2=()2,解得t=2或t=6(不合题意,舍去)。 ③若DM=DN,则DM2=DN2,即22+()2=()2,解得t=1。 综上所述,当t=1、2或时,△DMN是等腰三角形。 (4)当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时,如答图,
设EF、DG分别与AC交于点M、N, 由(3)可知:ME=,DN=. 设直线BC的解析式为y=kx+b, 将点B(2,3)、C(6,0)代入得: ,解得。 ∴直线BC的解析式为。 设直线BC与EF交于点K, ∵xK=t+2,∴。 ∴。 设直线BC与GF交于点J, ∵yJ=2,∴2= ,得。 ∴FJ=xF﹣xJ=t+2﹣=t﹣。 ∴S=S正方形DEFG﹣S梯形MEDN﹣S△FJK=DE2﹣(ME+DN)?DE﹣FK?FJ =22﹣ [(2﹣t)+(3﹣t)]×2﹣(t﹣1)(t﹣). 过点G作GH⊥y轴于点H,交AC于点I,则HI=2,HJ=, ∴t的取值范围是:2<t<。 ∴S与t的函数关系式为:S(2<t<)。 S, ∵<0,且2<<,∴当t=时,S取得最大值,最大值为1。 |
据专家权威分析,试题“如图,抛物线经过△ABC的三个顶点,点A坐标为(0,3),点B坐标为(2..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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