题文
如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA=2,OC=6,在OC上取点D将△AOD沿AD翻折,使O点落在AB边上的E点处,将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动,且一直角边始终经过点D,另一直角边所在直线与直线DE,BC分别交于点M,N. (1)填空:D点坐标是( , ),E点坐标是( , ); (2)如图1,当点P在线段DA上移动时,是否存在这样的点M,使△CMN为等腰三角形?若存在,请求出M点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,当点P在线段AB上移动时,设P点坐标为(x,2),记△DBN的面积为S,请直接写出S与x之间的函数关系式,并求出S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围.
|
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)(2,0),(2,2)。 (2)存在点M使△CMN为等腰三角形,M点的坐标为:(2,0),(2,4),(2,﹣4)。 (3)S随x增大而减小时,0≤x≤2或4≤x≤6。 |
试题分析:(1)根据△AOD沿AD翻折,使O点落在AB边上的E点处,得到∠OAD=∠EAD=45°,DE=OD,求出OD=2,得出D点的坐标,再根据DE=OD=2,求出E点的坐标: ∵将△AOD沿AD翻折,使O点落在AB边上的E点处, ∴∠OAD=∠EAD=45°,DE=OD,∴OA=OD。 ∵OA=2,∴OD=2。∴D点坐标是(2,0),DE=OD=2。∴E点坐标是(2,2)。 (2)由翻折可知四边形AODE为正方形,过M作MH⊥BC于H,先求出∠NMH=∠MNH=45°,得出NH=MH=4,MN=,再根据直线OE的解析式为:y=x,依题意得MN∥OE,设MN的解析式为y=x+b,根据DE的解析式为x=2,BC的解析式为x=6,得出M(2,2+b),N(6,6+b),,CN=6+b,MN=。分CM=CN,CM=MN, CM=MN三种情况分别求出点M的坐标。 (3)根据题意先证出△PBN∽△DEP,得出BN的值,求出S与x之间的函数关系式,根据题意得: 当0≤x≤2时, ∵∠BPN+∠DPE=90°,∠BPN+∠EPD=90°,∴∠DPE=∠EPD。 ∴△PBN∽△DEP,∴,即。∴。 ∴。 当2<x≤6时, ∵△PBN∽△DEP,∴,即。∴。 ∴。 ∴S与x之间的函数关系式:。 根据①当0≤x≤2时,S=x2﹣8x+12=(x﹣4)2﹣4,②当2<x≤6时,S=﹣x2+8x﹣12=﹣(x﹣4)2+4,即可得出答案。 解:(1)(2,0),(2,2)。 (2)存在点M使△CMN为等腰三角形,理由如下: 由翻折可知四边形AODE为正方形, 过M作MH⊥BC于H,
∵∠PDM=∠PMD=45°, ∴∠NMH=∠MNH=45°。NH=MH=4,MN=。 ∵直线OE的解析式为:y=x,依题意得MN∥OE, ∴设MN的解析式为y=x+b, 而DE的解析式为x=2,BC的解析式为x=6,∴M(2,2+b),N(6,6+b)。 ∴。 分三种情况讨论: ①当CM=CN时,42+(2+b)2=(6+b)2,解得:b=﹣2, 此时M(2,0)。 ②当CM=MN时,42+(2+b)2=()2,解得:b1=2,b1=﹣6(不合题意舍去), 此时M(2,4)。 ③当CM=MN时,6+b=,解得:b=﹣6, 此时M(2,﹣4)。 综上所述,存在点M使△CMN为等腰三角形,M点的坐标为: (2,0),(2,4),(2,﹣4)。 (3)S与x之间的函数关系式为:。 ①当0≤x≤2时,S=x2﹣8x+12=(x﹣4)2﹣4, 当x≤4时,S随x的增大而减小,即0≤x≤2; ②当2<x≤6时,S=﹣x2+8x﹣12=﹣(x﹣4)2+4, 当x≥4时,S随x的增大而减小,即4≤x≤6。 综上所述:S随x增大而减小时,0≤x≤2或4≤x≤6。 |
据专家权威分析,试题“如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA=2,OC=6,在OC上取点..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
|