题文
(2013年四川攀枝花12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式; (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标; (3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)由于抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),可设抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x﹣1), 将C点坐标(0,﹣3)代入,得:a(0+3)(0﹣1)=5,解得 a=1。 ∴抛物线的解析式为:y=(x+3)(x﹣1),即y=x2+2x﹣3。 (2)如图1,过点P作x轴的垂线,交AC于点N.
设直线AC的解析式为y=kx+m,由题意,得,解得。 ∴直线AC的解析式为:y=﹣x﹣3。 设P点坐标为(x,x2+2x﹣3), 则点N的坐标为(x,﹣x﹣3), ∴PN=PE﹣NE=﹣(x2+2x﹣3)+(﹣x﹣3)=﹣x2﹣3x。 ∵S△PAC=S△PAN+S△PCN, ∴。 ∴当x=时,S有最大值,此时点P的坐标为(,)。 (3)在y轴上是否存在点M,能够使得△ADE是直角三角形。理由如下: ∵y=x2+2x﹣3=y=(x+1)2﹣4,∴顶点D的坐标为(﹣1,﹣4)。 ∵A(﹣3,0),∴AD2=(﹣1+3)2+(﹣4﹣0)2=20。 设点M的坐标为(0,t),分三种情况进行讨论: ①当A为直角顶点时,如图2,
由勾股定理,得AM2+AD2=DM2, 即(0+3)2+(t﹣0)2+20=(0+1)2+(t+4)2,解得t=。 ∴点M的坐标为(0,)。 ②当D为直角顶点时,如图3,
由勾股定理,得DM2+AD2=AM2, 即(0+1)2+(t+4)2+20=(0+3)2+(t﹣0)2,解得t=。 ∴点M的坐标为(0,)。 ③当M为直角顶点时,如图4,
由勾股定理,得AM2+DM2=AD2, 即(0+3)2+(t﹣0)2+(0+1)2+(t+4)2=20,解得t=﹣1或﹣3。 ∴点M的坐标为(0,﹣1)或(0,﹣3)。 综上所述,在y轴上存在点M,能够使得△ADE是直角三角形,此时点M的坐标为(0,)或(0,)或(0,﹣1)或(0,﹣3)。 |
(1)已知抛物线上的三点坐标,利用待定系数法可求出该二次函数的解析式。 (2)过点P作x轴的垂线,交AC于点N,先运用待定系数法求出直线AC的解析式,设P点坐标为(x,x2+2x﹣3),根据AC的解析式表示出点N的坐标,再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积,运用顶点式就可以求出结论。 (3)分三种情况进行讨论:①以A为直角顶点;②以D为直角顶点;③以M为直角顶点;设点M的坐标为(0,t),根据勾股定理列出方程,求出t的值即可。 |
据专家权威分析,试题“(2013年四川攀枝花12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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