题文
如图,△ABC的顶点坐标分别为A(﹣6,0),B(4,0),C(0,8),把△ABC沿直线BC翻折,点A的对应点为D,抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C,顶点M在直线BC上.
(1)证明四边形ABCD是菱形,并求点D的坐标; (2)求抛物线的对称轴和函数表达式; (3)在抛物线上是否存在点P,使得△PBD与△PCD的面积相等?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)证明:∵A(﹣6,0),B(4,0),C(0,8), ∴AB=6+4=10,。∴AB=AC。 由翻折可得,AB=BD,AC=CD。∴AB=BD=CD=AC。∴四边形ABCD是菱形。 ∴CD∥AB。 ∵C(0,8),∴点D的坐标是(10,8)。 (2)∵y=ax2﹣10ax+c,∴对称轴为直线。 设M的坐标为(5,n),直线BC的解析式为y=kx+b, ∴,解得。 ∴直线BC的解析式为y=﹣2x+8。 ∵点M在直线y=﹣2x+8上,∴n=﹣2×5+8=﹣2。 ∴M(5,,-2). 又∵抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C和M, ∴,解得。 ∴抛物线的函数表达式为。 (3)存在。点P的坐标为P1(),P2(﹣5,38) |
试题分析:(1)根据勾股定理,翻折的性质可得AB=BD=CD=AC,根据菱形的判定和性质可得点D的坐标。 (2)根据对称轴公式可得抛物线的对称轴,设M的坐标为(5,n),直线BC的解析式为y=kx+b,根据待定系数法可求M的坐标,再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式。 (3)分点P在CD的上面下方和点P在CD的上方两种情况,根据等底等高的三角形面积相等可求点P的坐标: 设P, 当点P在CD的上面下方,根据菱形的性质,知点P是AD与抛物线的交点,由A,D的坐标可由待定系数法求出AD的函数表达式: ,二者联立可得P1(); 当点P在CD的上面上方,易知点P是∠D的外角平分线与抛物线的交点,此时,∠D的外角平分线与直线AD垂直,由相似可知∠D的外角平分线PD的斜率等于-2,可设其为,将D(10,8)代入可得PD的函数表达式: ,与抛物线联立可得P2(﹣5,38)。 |
据专家权威分析,试题“如图,△ABC的顶点坐标分别为A(﹣6,0),B(4,0),C(0,8),把△ABC..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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