题文
如图①,AB是半圆O的直径,以OA为直径作半圆C,P是半圆C上的一个动点(P与点A,O不重合),AP的延长线交半圆O于点D,其中OA=4.
(1)判断线段AP与PD的大小关系,并说明理由; (2)连接OD,当OD与半圆C相切时,求的长; (3)过点D作DE⊥AB,垂足为E(如图②),设AP=x,OE=y,求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围. |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)AP=PD。理由如下: 如图①,连接OP,OD,
∵OA是半圆C的直径,∴∠APO=90°,即OP⊥AD。 又∵OA=OD,∴AP=PD。 (2)如图①,连接PC、OD. ∵OD是半圆C的切线,∴∠AOD=90°。 由(1)知,AP=PD. 又∵AC=OC,∴PC∥OD。∴∠ACP=∠AOD=90°。 ∵OA=4,∴AC=2。 ∴的长=。 (3)分两种情况: ①当点E落在OA上(即0<x≤时),如图②,
连接OP,则∠APO=∠AED. 又∵∠A=∠A,∴△APO∽△AED。∴。 ∵AP=x,AO=4,AD=2x,AE=4﹣y,∴。 ∴(0<x≤). ②当点E落在线段OB上(即<x<4)时,如图③,
连接OP,同①可得,△APO∽△AED。 ∴。 ∵AP=x,AO=4,AD=2x,AE=4+y,∴。 ∴(<x<4)。 综上所述,y与x之间的函数关系式为 |
试题分析:(1)AP=PD.理由如下:如图①,连接OP.利用圆周角定理知OP⊥AD.然后由等腰三角形“三合一”的性质证得AP=PD。 (2)由三角形中位线的定义证得CP是△AOD的中位线,则PC∥DO,所以根据平行线的性质、切线的性质易求弧AP所对的圆心角∠ACP=90°,从而求出的长。 (3)分类讨论:点E落在线段OA和线段OB上,这两种情况下的y与x的关系式.这两种情况都是根据相似三角形(△APO∽△AED)的对应边成比例来求y与x之间的函数关系式。 |
据专家权威分析,试题“如图①,AB是半圆O的直径,以OA为直径作半圆C,P是半圆C上的一个动..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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