题文
如图,在坐标系xOy中,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0,2),抛物线的图象过C点.
(1)求抛物线的解析式; (2)平移该抛物线的对称轴所在直线l.当l移动到何处时,恰好将△ABC的面积分为相等的两部分? (3)点P是抛物线上一动点,是否存在点P,使四边形PACB为平行四边形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)如答图1所示,过点C作CD⊥x轴于点D,则∠CAD+∠ACD=90°。
∵∠OBA+∠OAB=90°,∠OAB+∠CAD=90°, ∴∠OAB=∠ACD,∠OBA=∠CAD。 ∵在△AOB与△CDA中,, ∴△AOB≌△CDA(ASA)。 ∴CD=OA=1,AD=OB=2。 ∴OD=OA+AD=3。 ∴C(3,1)。 ∵点C(3,1)在抛物线上, ∴,解得:。 ∴抛物线的解析式为:。 (2)在Rt△AOB中,OA=1,OB=2,由勾股定理得:AB=。 ∴S△ABC=AB2=。 设直线BC的解析式为y=kx+b,∵B(0,2),C(3,1), ∴,解得。 ∴直线BC的解析式为。 同理求得直线AC的解析式为:。 如答图1所示,设直线l与BC、AC分别交于点E、F, 则。 在△CEF中,CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x. 由题意得:S△CEF=S△ABC,即: EF?h=S△ABC。 ∴,整理得:(3﹣x)2=3。 解得x=3﹣或x=3+(不合题意,舍去)。 ∴当直线l解析式为x=3﹣时,恰好将△ABC的面积分为相等的两部分。 (3)存在。如答图2所示,
过点C作CG⊥y轴于点G,则CG=OD=3,OG=1,BG=OB﹣OG=1。 过点A作AP∥BC,且AP=BC,连接BP,则四边形PACB为平行四边形。 过点P作PH⊥x轴于点H, 则易证△PAH≌△BCG。 ∴PH=BG=1,AH=CG=3,∴OH=AH﹣OA=2。 ∴P(﹣2,1)。 ∵抛物线解析式为:,当x=﹣2时,y=1,即点P在抛物线上。 ∴存在符合条件的点P,点P的坐标为(﹣2,1).。 |
(1)首先构造全等三角形△AOB≌△CDA,求出点C的坐标;然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式。 (2)首先求出直线BC与AC的解析式,设直线l与BC、AC交于点E、F,则可求出EF的表达式;根据S△CEF=S△ABC,列出方程求出直线l的解析式; (3)首先作出?PACB,然后证明点P在抛物线上即可。 |
据专家权威分析,试题“如图,在坐标系xOy中,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0)..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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