题文
如图,已知抛物线经过A(1,0),B(0,3)两点,对称轴是x=﹣1.
(1)求抛物线对应的函数关系式; (2)动点Q从点O出发,以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动,同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动,过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒. ①当t为何值时,四边形OMPQ为矩形; ②△AON能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)根据题意,设抛物线的解析式为:, ∵点A(1,0),B(0,3)在抛物线上, ∴,解得:。 ∴抛物线的解析式为:。 (2)①∵四边形OMPQ为矩形, ∴OM=PQ,即,整理得:t2+5t﹣3=0, 解得(<0,舍去)。 ∴当秒时,四边形OMPQ为矩形。 ②Rt△AOB中,OA=1,OB=3,∴tanA=3。 若△AON为等腰三角形,有三种情况: (I)若ON=AN,如答图1所示,
过点N作ND⊥OA于点D, 则D为OA中点,OD=OA=, ∴t=。 (II)若ON=OA,如答图2所示,
过点N作ND⊥OA于点D, 设AD=x,则ND=AD?tanA=3x,OD=OA﹣AD=1﹣x, 在Rt△NOD中,由勾股定理得:OD2+ND2=ON2, 即,解得x1=,x2=0(舍去)。 ∴x=,OD=1﹣x=。 ∴t=。 (III)若OA=AN,如答图3所示,
过点N作ND⊥OA于点D, 设AD=x,则ND=AD?tanA=3x, 在Rt△AND中,由勾股定理得:ND2+AD2=AN2, 即,解得x1=,x2=(舍去)。 ∴x=,OD=1﹣x=1﹣。 ∴t=1﹣。 综上所述,当t为秒、秒,1﹣秒时,△AON为等腰三角形。 |
(1)用待定系数法求出抛物线的顶点式解析式。 (2)①当四边形OMPQ为矩形时,满足条件OM=PQ,据此列一元二次方程求解。 ②△AON为等腰三角形时,可能存在三种情形,分类讨论,逐一计算。 |
据专家权威分析,试题“如图,已知抛物线经过A(1,0),B(0,3)两点,对称轴是x=﹣1.(1)求..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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