题文
如图,二次函数的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(﹣1,0),与y轴相交于点C(0,3),点P是该图象上的动点;一次函数y=kx﹣4k(k≠0)的图象过点P交x轴于点Q.
(1)求该二次函数的解析式; (2)当点P的坐标为(﹣4,m)时,求证:∠OPC=∠AQC; (3)点M,N分别在线段AQ、CQ上,点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动,同时,点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动,当点M,N中有一点到达Q点时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒.连接AN,当△AMN的面积最大时, ①求t的值; ②直线PQ能否垂直平分线段MN?若能,请求出此时点P的坐标;若不能,请说明你的理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)∵二次函数的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(﹣1,0), ∴设二次函数的解析式为:y=a(x+3)(x+1)。 ∵二次函数的图象经过点C(0,3),∴3=a×3×1,解得a=1。 ∴二次函数的解析式为:y=(x+3)(x+1),即y =x2+4x+3。 (2)证明:在二次函数解析式y=x2+4x+3中,当x=﹣4时,y=3,∴P(﹣4,3)。 ∵P(﹣4,3),C(0,3),∴PC=4,PC∥x轴。 ∵一次函数y=kx﹣4k(k≠0)的图象交x轴于点Q,当y=0时,x=4,∴Q(4,0),OQ=4。 ∴PC=OQ。 又∵PC∥x轴,∴四边形POQC是平行四边形。 ∴∠OPC=∠AQC。 (3)①在Rt△COQ中,OC=3,OQ=4,由勾股定理得:CQ=5. 如答图1所示,过点N作ND⊥x轴于点D,则ND∥OC,
∴△QND∽△QCO。 ∴,即, 解得:。 设S=S△AMN,则: 。 又∵AQ=7,点M的速度是每秒3个单位长度, ∴点M到达终点的时间为t=, ∴(0<t≤)。 ∵<0,<,且x<时,y随x的增大而增大, ∴当t=时,△AMN的面积最大。 ②假设直线PQ能够垂直平分线段MN,则有QM=QN,且PQ⊥MN,PQ平分∠AQC。 由QM=QN,得:7﹣3t=5﹣t,解得t=1。 此时点M与点O重合,如答图2所示,
设PQ与OC交于点E,由(2)可知,四边形POQC是平行四边形, ∴OE=CE。 ∵点E到CQ的距离小于CE, ∴点E到CQ的距离小于OE。 而OE⊥x轴, ∴PQ不是∠AQC的平分线,这与假设矛盾。 ∴直线PQ不能垂直平分线段MN |
试题分析:(1)利用交点式求出抛物线的解析式。 (2)证明四边形POQC是平行四边形,则结论得证。 (3)①求出△AMN面积的表达式,利用二次函数的性质,求出△AMN面积最大时t的值。 ②由于直线PQ上的点到∠AQC两边的距离不相等,则直线PQ不能平分∠AQC,所以直线PQ不能垂直平分线段MN。 |
据专家权威分析,试题“如图,二次函数的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(﹣1,0),与y轴相..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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