题文
如图,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)点M是抛物线上一点,以B,C,D,M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标. |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)∵抛物线与y轴交于点C(0,3), ∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3(a≠0), 根据题意,得,解得。 ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3。 (2)存在。 由y=﹣x2+2x+3得,D点坐标为(1,4),对称轴为x=1。 ①若以CD为底边,则PD=PC, 设P点坐标为(x,y),根据勾股定理,得,即y=4﹣x。 又P点(x,y)在抛物线上,∴4﹣x=﹣x2+2x+3,即x2﹣3x+1=0。 解得<1,舍去。 ∴,∴。 ∴点P坐标为。 ②若以CD为一腰, ∵点P在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x=1对称, ∴点P坐标为(2,3)。 综上所述,符合条件的点P坐标为或(2,3)。 (3)由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根据勾股定理,得CB=,CD=,BD=, ∴CB2+CD2=BD2=20。∴∠BCD=90°。 设对称轴交x轴于点E,过C作CM⊥DE,交抛物线于点M,垂足为F,
在Rt△DCF中,∵CF=DF=1,∴∠CDF=45°。, 由抛物线对称性可知,∠CDM=2×45°=90°,点坐标M为(2,3)。 ∴DM∥BC。∴四边形BCDM为直角梯形。 由∠BCD=90°及题意可知, 以BC为一底时,顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况; 以CD为一底或以BD为一底,且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。 综上所述,符合条件的点M的坐标为(2,3)。 |
试题分析:(1)由于A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点均在坐标轴上,故用待定系数法求解即可。 (2)分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论.运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系,再结合抛物线解析式即可求解。 (3)根据抛物线上点的坐标特点,利用勾股定理求出相关边长,再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角。 |
据专家权威分析,试题“如图,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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