题文
如图,已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点为A,且与y轴交于点C(0,5)。
(1)求直线BC与抛物线的解析式; (2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值; (3)在(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标。 |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)设直线BC的解析式为, 将B(5,0),C(0,5)代入,得,得。 ∴直线BC的解析式为。 将B(5,0),C(0,5)代入,得,得。 ∴抛物线的解析式。 (2)∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点,∴设M。 ∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点,∴N。 ∵当点M在抛物线在x轴下方时,N的纵坐标总大于M的纵坐标。 ∴。 ∴MN的最大值是。 (3)当MN取得最大值时,N。 ∵的对称轴是,B(5,0),∴A(1,0)。∴AB=4。 ∴。 由勾股定理可得,。 设BC与PQ的距离为h,则由S1=6S2得:,即。 如图,过点B作平行四边形CBPQ的高BH,过点H作x轴的垂线交点E ,则BH=,EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。
易得,△BEH是等腰直角三角形, ∴EH=。 ∴直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式: 或。 当时,与联立,得 ,解得或。此时,点P的坐标为(-1,12)或(6,5)。 当时,与联立,得 ,解得或。此时,点P的坐标为(2,-3)或(3,-4)。 综上所述,点P的坐标为(-1,12)或(6,5)或(2,-3)或(3,-4)。 |
(1)由B(5,0),C(0,5),应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。 (2)构造MN关于点M横坐标的函数关系式,应用二次函数最值原理求解。 (3)根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h,从而求得PQ由BC平移的距离,根据平移的性质求得PQ的解析式,与抛物线联立,即可求得点P的坐标。 |
据专家权威分析,试题“如图,已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点为..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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