题文
如图,抛物线交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B,将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2,两条抛物线相交于点C.
(1)请直接写出抛物线y2的解析式; (2)若点P是x轴上一动点,且满足∠CPA=∠OBA,求出所有满足条件的P点坐标; (3)在第四象限内抛物线y2上,是否存在点Q,使得△QOC中OC边上的高h有最大值?若存在,请求出点Q的坐标及h的最大值;若不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)抛物线向右平移4个单位的顶点坐标为(4,-1), ∴抛物线y2的解析式为。 (2)当x=0时,y1=﹣1,y1=0时,=0,解得x=1或x=-1, ∴点A(1,0),B(0,-1)。∴∠OBA=450。 联立,解得。 ∴点C的坐标为(2,3)。 ∵∠CPA=∠OBA, ∴点P在点A的左边时,坐标为(-1,0);在点A的右边时,坐标为(5,0)。 ∴点P的坐标为(-1,0)或(5,0)。 (3)存在。 ∵点C(2,3),∴直线OC的解析式为, 设与OC平行的直线, 联立,消掉y得,, 当△=0,方程有两个相等的实数根时,△QOC中OC边上的高h有最大值, 此时,由一元二次方程根与系数的关系,得, ∴此时,。 ∴存在第四象限的点Q(,),使得△QOC中OC边上的高h有最大值, 此时,解得。 ∴过点Q与OC平行的直线解析式为。 令y=0,则,解得。 设直线与x轴的交点为E,则E(,0)。 过点C作CD⊥x轴于D,
根据勾股定理,, 则由面积公式,得,即。 ∴存在第四象限的点Q(,),使得△QOC中OC边上的高h有最大值,最大值为。 |
(1)写出平移后的抛物线的顶点坐标,然后利用顶点式解析式写出即可。 (2)根据抛物线解析式求出点A、B的坐标,然后求出∠OBA=45°,再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标,再根据∠CPA=∠OBA分点P在点A的左边和右边两种情况求解。 (3)先求出直线OC的解析式为y=x,设与OC平行的直线y=x+b,与抛物线y2联立消掉y得到关于x的一元二次方程,再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根,然后利用根的判别式△=0列式求出b的值,从而得到直线的解析式,再求出与x轴的交点E的坐标,得到OE的长度,再过点C作CD⊥x轴于D,然后根据面积公式求解即可得到h的值。 |
据专家权威分析,试题“如图,抛物线交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B,将此抛物线向右平..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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