题文
如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,二次函数的图象经过点A,B,与x轴分别交于点E,F,且点E的坐标为(,0),以OC为直径作半圆,圆心为D.
(1)求二次函数的解析式; (2)求证:直线BE是⊙D的切线; (3)若直线BE与抛物线的对称轴交点为P,M是线段CB上的一个动点(点M与点B,C不重合),过点M作MN∥BE交x轴与点N,连结PM,PN,设CM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.S是否存在着最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)∵四边形OABC是边长为2的正方形,∴A(0,2),B(2,2)。 又∵E的坐标为(,0), ∴,解得,。 ∴该二次函数的解析式为:。 (2)如图,过点D作DG⊥BE于点G,
由题意,得, ∴。 ∵∠BEC=∠DEG,∠EGD=∠ECB=90°, ∴△EGD∽△ECB。 ∴,即。∴DG=1。 ∵⊙D的半径是1,且DG⊥BE,∴BE是⊙D的切线。 (3)由题意,得E(,0),B(2,2).
设直线BE为y=kx+h,则 ,解得,。 ∴直线BE为:。 ∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P,对称轴直线为x=1, ∴点P的纵坐标,即P(1,)。 ∵MN∥BE,∴∠MNC=∠BEC。 ∵∠C=∠C=90°,∴△MNC∽△BEC。∴,即。∴。 ∴。 ∴,, 。 ∵(0<t<2)。 ∵抛物线(0<t<2)的开口方向向下, ∴S存在最大值,当t=1时,S最大=。 |
(1)根据题意易得点A、B的坐标,然后把点A、B、E的坐标分别代入二次函数解析式,列出关于a、b、c的方程组,利用三元一次方程组来求得系数的值。 (2)如图,过点D作DG⊥BE于点G,构建相似三角形△EGD∽△ECB,根据它的对应边成比例得到,由此求得DG=1(圆的半径是1),则易证得结论。 (3)利用待定系数法求得直线BE为:,则易求P(1,).然后由相似三角形△MNC∽△BEC的对应边成比例,线段间的和差关系得到,.所以由即可求得(0<t<2),由抛物线的性质可以求得S的最值。 |
据专家权威分析,试题“如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,二次函..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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