题文
已知:关于x的二次函数(a>0),点A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在这个二次函数的图象上,其中n为正整数. (1)y1=y2,请说明a必为奇数; (2)设a=11,求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值; (3)对于给定的正实数a,是否存在n,使△ABC是以AC为底边的等腰三角形?如果存在,求n的值(用含a的代数式表示);如果不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)∵点A(n,y1)、B(n+1,y2)都在二次函数(a>0)的图象上, ∴。 ∵y1=y2, ∴,整理得:a=2n+1。 ∵n为正整数,∴a必为奇数。 (2)当a=11时,∵y1<y2<y3, ∴。 化简得:。解得:。 ∵n为正整数,∴n=1、2、3、4。 (3)存在。 假设存在,则AB=AC, 如图所示,过点B作BN⊥x轴于点N,过点A作AD⊥BN于点D,CE⊥BN于点E,
∵xA=n,xB=n+1,xC=n+2,∴AD=CE=1。 在Rt△ABD与Rt△CBE中,AB=BC,AD=CE, ∴Rt△ABD≌Rt△CBE(HL)。 ∴∠BAD=∠CBE,即BN为顶角的平分线。 由等腰三角形性质可知,点A、C关于BN对称。 ∴BN为抛物线的对称轴,点B为抛物线的顶点, ∴。∴。 ∴存在n,使△ABC是以AC为底边的等腰三角形,。 |
(1)将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式,利用y1=y2得到用n表示a的式子,即可得到答案; (2)将a=11代入解析式后,由题意列出不等式组,求得此不等式组的正整数解。 (3)本问为存在型问题,如图所示,可以由三角形全等及等腰三角形的性质,判定点B为抛物线的顶点,点A、C关于对称轴对称,于是得到,从而可以求出。 |
据专家权威分析,试题“已知:关于x的二次函数(a>0),点A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
|