题文
如图1,平面之间坐标系中,等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动,点C的坐标为(t,0),直角边AC=4,经过O,C两点做抛物线(a为常数,a>0),该抛物线与斜边AB交于点E,直线OA:y2=kx(k为常数,k>0)
(1)填空:用含t的代数式表示点A的坐标及k的值:A ,k= ; (2)随着三角板的滑动,当a=时: ①请你验证:抛物线的顶点在函数的图象上; ②当三角板滑至点E为AB的中点时,求t的值; (3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当t≤x≤t+4,|y2﹣y1|的值随x的增大而减小,当x≥t+4时,|y2﹣y1|的值随x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围. |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)∵点C的坐标为(t,0),直角边AC=4,∴点A的坐标是(t,4)。 ∵直线OA:y2=kx(k为常数,k>0),∴4=kt,则(k>0)。 (2)①当a=时,,其顶点坐标为。 对于,当x=时, ∴点在抛物线上。 ∴当a=时,抛物线的顶点在函数的图象上。 ②如图1,过点E作EK⊥x轴于点K,
∵AC⊥x轴,∴AC∥EK。 ∵点E是线段AB的中点,∴K为BC的中点。 ∴EK是△ACB的中位线。 ∴EK=AC=2,CK=BC=2。∴E(t+2,2)。 ∵点E在抛物线上, ∴,解得t=2。 ∴当三角板滑至点E为AB的中点时,t=2。 (3)如图2,由得,
解得,或x=0(不合题意,舍去)。 ∴点D的横坐标是。 当时,|y2﹣y1|=0,由题意得,即。 又, ∴当时,取得最大值。 又当时,取得最小值0, ∴当时,的值随x的增大而减小,当时,的值随x的增大而增大。 由题意,得,将代入得,解得。 综上所述,a与t的关系式为,t的取值范围为。 |
试题分析:(1)根据题意易得点A的横坐标与点C的相同,点A的纵坐标即是线段AC的长度;把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值: (2)①求得抛物线y1的顶点坐标,然后把该坐标代入函数,若该点满足函数解析式,即表示该顶点在函数图象上;反之,该顶点不在函数图象上。 ②如图1,过点E作EK⊥x轴于点K.则EK是△ACB的中位线,所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标,把点E的坐标代入抛物线即可求得t=2。 (3)如图2,根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是,则,由此可以求得a与t的关系式。由求得取得最大值时的x值,同时由时,取得最小值0,得出当时,的值随x的增大而减小,当时,的值随x的增大而增大。从而由题意,得,结合,求出t的取值范围。 |
据专家权威分析,试题“如图1,平面之间坐标系中,等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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