题文
如图,抛物线(a≠0)交x轴于A、B两点,A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.
(1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动,分别交x轴于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长; (3)在(2)的条件下,连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似?若存在,求出此时m的值,并直接判断△PCM的形状;若不存在,请说明理由。 |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)∵抛物线(a≠0)经过点A(3,0),点C(0,4), ∴,解得。 ∴抛物线的解析式为。 (2)设直线AC的解析式为y=kx+b, ∵A(3,0),点C(0,4), ∴,解得。 ∴直线AC的解析式为。 ∵点M的横坐标为m,点M在AC上, ∴M点的坐标为(m,)。 研三理-孟奕含(713000529);∵点P的横坐标为m,点P在抛物线上, ∴点P的坐标为(m,)。 ∴PM=PE-ME=()-()=。 ∴PM=(0<m<3)。 (3)在(2)的条件下,连接PC,在CD上方的抛物线部分存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似。理由如下: 由题意,可得AE=3﹣m,EM=,CF=m,PF==, 若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似,分两种情况: ①若△PFC∽△AEM,则PF:AE=FC:EM,即():(3-m)=m:(), ∵m≠0且m≠3,∴m=。 ∵△PFC∽△AEM,∴∠PCF=∠AME。 ∵∠AME=∠CMF,∴∠PCF=∠CMF。 在直角△CMF中,∵∠CMF+∠MCF=90°,∴∠PCF+∠MCF=90°,即∠PCM=90°。 ∴△PCM为直角三角形。 ②若△CFP∽△AEM,则CF:AE=PF:EM,即m:(3-m)=():(), ∵m≠0且m≠3,∴m=1。 ∵△CFP∽△AEM,∴∠CPF=∠AME。 ∵∠AME=∠CMF,∴∠CPF=∠CMF。∴CP=CM。 ∴△PCM为等腰三角形。 综上所述,存在这样的点P使△PFC与△AEM相似.此时m的值为或1,△PCM为直角三角形或等腰三角形。 |
(1)将A(3,0),C(0,4)代入,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式。 (2)先根据A、C的坐标,用待定系数法求出直线AC的解析式,从而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标,即可得到PM的长。 (3)由于∠PFC和∠AEM都是直角,F和E对应,则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时,分两种情况进行讨论:①△PFC∽△AEM,②△CFP∽△AEM;可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长,根据相似三角形对应边的比相等列出比例式,求出m的值,再根据相似三角形的性质,直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状。 |
据专家权威分析,试题“如图,抛物线(a≠0)交x轴于A、B两点,A点坐标为(3,0),与y轴交于..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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