题文
如图,直线与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C.在线段OA上,动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,同时动点P从点A出发向点O做匀速运动,当点P、Q其中一点停止运动时,另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线,交直线AB、OC于点E、F,连接EF.若运动时间为t秒,在运动过程中四边形PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外).
(1)求点P运动的速度是多少? (2)当t为多少秒时,矩形PEFQ为正方形? (3)当t为多少秒时,矩形PEFQ的面积S最大?并求出最大值. |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)∵直线与坐标轴分别交于点A、B, ∴x=0时,y=4;y=0时,x=8。∴BO=4,AO=8。∴。 当t秒时,QO=FQ=t,则EP=t, ∵EP∥BO,∴△ABO∽△ARP。∴,即。 ∴AP=2t。 ∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动, ∴点P运动的速度是每秒2个单位长度。 (2)∵当OP=OQ时,PE与QF重合,此时t=,当点P、Q其中一点停止运动时,另一点也停止运动, ∴分0<t<和<t≤4两种情况讨论: 如图1,当0<t<。即点P在点Q右侧时,若PQ=PE,矩形PEFQ为正方形,
∵OQ=FQ=t,PA=2t, ∴QP=8-t-2t=8-3t。 ∴8-3t=t。 解得:t=2。 如图2,当<t≤4,即点P在点Q左侧时,若PQ=PE,矩形PEFQ为正方形,∵OQ=t,PA=2t,∴OP=8-2t。
∴。 ∴。 解得:t=4。 ∴当t为2秒或4秒时,矩形PEFQ为正方形。 (3)同(2)分0<t<和<t≤4两种情况讨论: 如图1,当0<t<时,Q在P点的左边 ∵OQ=t,PA=2t,∴QP=8-t-2t=8-3t, ∴。 ∴当t=时,S的最大值为, 如图2,当<t≤4时,Q在P点的右边, ∵OQ=t,PA=2t,∴。 ∴。 ∵当<t≤4时,S随t的增大而增大,∴t=4时,S的最大值为:3×42﹣8×4=16。 综上所述,当t=4时,S的最大值为:16。 |
试题分析:(1)根据直线与坐标轴分别交于点A、B,得出A,B点的坐标,再利用EP∥BO,得出,据此可以求得点P的运动速度。 (2)当PQ=PE时,以及当PQ=PE时,矩形PEFQ为正方形,分别求出即可。 (3)根据(2)中所求得出S与t的函数关系式,从而利用二次函数性质求出即可。 |
据专家权威分析,试题“如图,直线与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C.在线段OA上..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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