题文
如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上,且长分别为m、4m(m>0),D为边AB的中点,一抛物线l经过点A、D及点M(﹣1,﹣1﹣m).
(1)求抛物线l的解析式(用含m的式子表示); (2)把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处,连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E,若抛物线l与线段CE相交,求实数m的取值范围; (3)在满足(2)的条件下,求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标. |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)设抛物线l的解析式为, 将A(0,m),D(2m,m),M(﹣1,﹣1﹣m)三点的坐标代入,得 ,解得。 ∴抛物线l的解析式为。 (2)设AD与x轴交于点M,过点A′作A′N⊥x轴于点N,
∵把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处, ∴△OAD≌△OA′D,OA=OA′=m,AD=A′D=2m,∠OAD=∠OA′D=90°,∠ADO=∠A′DO。 ∵矩形OABC中,AD∥OC,∴∠ADO=∠DOM。 ∴∠A′DO=∠DOM。∴DM=OM。 设DM=OM=x,则A′M=2m﹣x, 在Rt△OA′M中,∵OA′2+A′M2=OM2, ∴,解得。 ∵,∴。 ∴。 ∴A′点坐标为(,)。 易求直线OA′的解析式为, 当x=4m时,,∴E点坐标为(4m,)。 当x=4m时,, ∴抛物线l与直线CE的交点为(4m,)。 ∵抛物线l与线段CE相交,∴。 ∵m>0,∴,解得。 (3)∵, ∴当x=m时,y有最大值。 又∵, ∴当时,随m的增大而增大。 ∴当m=时,顶点P到达最高位置,。 ∴此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为(,) |
试题分析:(1)设抛物线l的解析式为,将A、D、M三点的坐标代入,运用待定系数法即可求解。 (2)设AD与x轴交于点M,过点A′作A′N⊥x轴于点N.根据轴对称及平行线的性质得出DM=OM=x,则A′M=2m﹣x,OA′=m,在Rt△OA′M中运用勾股定理求出x,得出A′点坐标,运用待定系数法得到直线OA′的解析式,确定E点坐标(4m,﹣3m),根据抛物线l与线段CE相交,列出关于m的不等式组,求出解集即可。 (3)根据二次函数的性质,结合(2)中求出的实数m的取值范围,即可求解。 |
据专家权威分析,试题“如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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