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题文
已知抛物线 ＝ ＋ ＋ －4．
（１）当 ＝２时，求出此抛物线的顶点坐标；
（２）求证：无论为什么实数，抛物线都与 轴有交点，且经过轴上的一定点；
（３）已知抛物线与轴交于Ａ（1，0）、Ｂ（2，0）两点（Ａ在Ｂ的左边），|1|＜|2|，与轴交于C点，且Ｓ△ABC＝１５．问：过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由．如果有，求出其坐标． |
题型：解答题 难度：中档
答案
| （１）（－１，－１）（２）当≥４时，当＜４时（３）有第四个交点，（１，－６） |
解：（１）当＝２时，抛物线为＝＋ ，…………………………１分
配方：＝＋＝＋＋１－１
得＝ －１，
∴顶点坐标为（－１，－１）；………………………………………………３分
（也可由顶点公式求得）
（２）令＝０，有＋＋－4＝０，………………………………４分
此一元二次方程根的判别式
⊿＝ －４·（－４）＝－ ＋１６＝ ，…………………５分
∵无论为什么实数，≥０，
方程＋＋－4＝０都有解，…………………………………………６分
即抛物线总与轴有交点．
由求根公式得＝ ，………………………………………………７分
当≥４时，＝ ，
1＝ ＝－２，2＝ ＝－＋２；
当＜４时，＝ ，
1＝ ＝－＋２，2＝ ＝－２．
即抛物线与轴的交点分别为（－２，０）和（－＋２，０），
而点（－２，０）是轴上的定点；…………………………………………８分
（３）过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆与该抛物线有第四个交点．…………………９分
设此点为Ｄ．∵|1|＜|2|，C点在y轴上，
由抛物线的对称，可知点Ｃ不是抛物线的顶点．……………………………１０分
由于圆和抛物线都是轴对称图形，
过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形．……………………１１分
∵轴上的两点Ａ、Ｂ关于抛物线对称轴对称，
∴过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的圆与抛物线的第四个
交点Ｄ应与C点关于抛物线对称轴对称．……………………………………１２分
由抛物线与轴的交点分别为（－２，０）和（－＋２，０）：
当－２＜－＋２，即＜４时，…………………………１３分
Ａ点坐标为（－２，０），Ｂ为（－＋２，０）．
即1＝－２，2＝－＋２．
由|1|＜|2|得－＋２＞２，解得＜０．
根据Ｓ△ABC＝１５，得 ＡＢ·ＯＣ＝１５．
ＡＢ＝－＋２－（－２）＝４－，
ＯＣ＝|２－４|＝４－２，
∴（４－）（４－２）＝１５，
化简整理得 ＝０，
解得＝７（舍去）或＝－１．
此时抛物线解析式为＝ ，
其对称轴为＝，Ｃ点坐标为（０，－６），
它关于＝的对称点Ｄ坐标为（１，－６）；………………………………１４分
当－２＞－＋２，由Ａ点在Ｂ点左边，
知Ａ点坐标为（－＋２，０），Ｂ为（－２，０）．
即1＝－＋２，2＝－２．
但此时|1|＞|2|，这与已知条件|1|＜|2|不相符，
∴不存在此种情况．
故第四个交点的坐标为（１，－６）．
（如图６）
（１）把＝２代入抛物线，通过配方可求得此抛物线的顶点坐标
（2）令y=0，解方程＋＋－4，即可求出抛物线与x轴两交点的横坐标，定点为与k值无关的点；
（3）过A、B、C三点的圆与抛物线有第四个交点D，根据A、B、C三点坐标，讨论k的范围，表示△ABC的面积，列方程求k，再根据对称性求D点坐标 |
据专家权威分析，试题“已知抛物线＝＋＋－4．（１）当＝２时，求出此抛物线的顶点坐标；（２）求证：无..”主要考查你对 二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称：二次函数的定义 考点名称：二次函数的图像 考点名称：二次函数的最大值和最小值 考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用
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（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。 
（a，b，c是常数，a≠0）； 
（a，h，k是常数，a≠0） 
与x轴有交点时，即对应二次好方程
有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式
，二次函数
可转化为两根式
。如果没有交点，则不能这样表示。 
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 
处取得最小值y最小值=
；
。
，那么，首先要看
是否在自变量取值范围
内，若在此范围内，则当x=
时，
；若不在此范围内，则需要考虑函数在
范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2 时，
，当x=x1 时
；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，
，当x=x2时
。 
,
]