题文
如图,抛物线y=-x+4x+5交x轴于A、B(以A左B右)两点,交y轴于点C.
(1)求直线BC的解析式; (2)点P为抛物线第一象限函数图象上一点,设P点的横坐标为m,△PBC的面积为S,求S与m的函数关系式; (3)在(2)的条件下,连接AP,抛物线上是否存在这样的点P,使得线段PA被BC平分,如果不存在,请说明理由;如果存在,求点P的坐标. |
题型:解答题 难度:偏难
答案
(1) y= (2) S= (3)存在,P(2,9)或P(3,8) |
试题分析:(1)令y=0,解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标,再令x=0求出点C的坐标,设直线BC解析式为y=kx+b(k≠0),利用待定系数法求一次函数解析式解答; (2)过点P作PH⊥x轴于H,交BC于F,根据抛物线和直线BC的解析式表示出PF,再根据S△PBC=S△PCF+S△PBF整理即可得解; (3)设AP、BC的交点为E,过点E作EG⊥x轴于G,根据垂直于同一直线的两直线平行可得EG∥PH,然后判断出△AGE和△AHP相似,根据相似三角形对应边成比例可表示出EG、HG,然后表示出BG,根据OB=OC可得∠OCB=∠OBC=45°,再根据等角对等边可得EG=BG,然后列出方程求出m的值,再根据抛物线解析式求出点P的纵坐标,即可得解. 试题解析:(1)当y=0时,x1=5,x2=-1, ∵A左B右, ∴A(-1,0),B(5,O) 当x=0时,y=5, ∴C(0,5), 设直线BC解析式为y=kx+b, ∴ ∴ ∴直线BC解析式为:y=; (2)作PH⊥x轴于H,交BC于点F,
P(m,-m2+4m+5),F(m,-m+5) PF=-m2+5m , S△PBC=S△PCF+S△PBF S= ∴S=; (3)存在点P, 作EG⊥AB于G,PH⊥AB于H,
∴EG∥PH, ∴△AGE∽△AHP, ∴, ∵P(m,-m2+4m+5), EG=, AH=m-(-1)=m+1, GH=, HB="5-m" ,GB=, ∵OC=OB=5, ∴∠OCB=∠OBC=45°, ∴EG=BG, ∴=, ∴m1=2 m2=3, 当m=2时,P(2,9), 当m=3时,P(3,8), ∴存在这样的点P, 使得线段PA被BC平分,P(2,9)或P(3,8). |
据专家权威分析,试题“如图,抛物线y=-x+4x+5交x轴于A、B(以A左B右)两点,交y轴于点C...”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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