题文
如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点,与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D.
(1)求抛物线的解析式; (2)在第三象限内,F为抛物线上一点,以A、E、F为顶点的三角形面积为3,求点F的坐标; (3)点P从点D出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值. |
题型:解答题 难度:偏难
答案
(1)y=-x2-2x+3;(2)(,) (3)当t为秒或2秒或3秒或秒时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形 |
试题分析:(1)先由直线AB的解析式为y=x+3,求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标,再将A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式; (2)设第三象限内的点F的坐标为(m,-m2-2m+3),运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D的坐标,再设抛物线的对称轴与x轴交于点G,连接FG,根据S△AEF=S△AEG+S△AFG-S△EFG=3,列出关于m的方程,解方程求出m的值,进而得出点F的坐标; (3)设P点坐标为(-1,n).先由B、C两点坐标,运用勾股定理求出BC2=10,再分三种情况进行讨论:①∠PBC=90°,先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2,据此列出关于n的方程,求出n的值,再计算出PD的长度,然后根据时间=路程÷速度,即可求出此时对应的t值;②∠BPC=90°,同①可求出对应的t值;③∠BCP=90°,同①可求出对应的t值. 试题解析:(1)∵y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B, ∴当y=0时,x=-3,即A点坐标为(-3,0), 当x=0时,y=3,即B点坐标为(0,3), 将A(-3,0),B(0,3)代入y=-x2+bx+c,得 , 解得, ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3; (2)如图1,
设第三象限内的点F的坐标为(m,-m2-2m+3),则m<0,-m2-2m+3<0. ∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, ∴对称轴为直线x=-1,顶点D的坐标为(-1,4), 设抛物线的对称轴与x轴交于点G,连接FG,则G(-1,0),AG=2. ∵直线AB的解析式为y=x+3, ∴当x=-1时,y=-1+3=2, ∴E点坐标为(-1,2). ∵S△AEF=S△AEG+S△AFG-S△EFG=×2×2+×2×(m2+2m-3)-×2×(-1-m)=m2+3m, ∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时,m2+3m=3, 解得:,(舍去), 当时,-m2-2m+3=-m2-3m+m+3=-3+m+3=m=,∴点F的坐标为(,); (3)设P点坐标为(-1,n). ∵B(0,3),C(1,0), ∴BC2=12+32=10. 分三种情况:①如图2,如果∠PBC=90°,那么PB2+BC2=PC2,
即(0+1)2+(n-3)2+10=(1+1)2+(n-0)2, 化简整理得6n=16,解得n=, ∴P点坐标为(-1,), ∵顶点D的坐标为(-1,4), ∴PD=4-=, ∵点P的速度为每秒1个单位长度, ∴t1=; ②如图3,如果∠BPC=90°,那么PB2+PC2=BC2,
即(0+1)2+(n-3)2+(1+1)2+(n-0)2=10, 化简整理得n2-3n+2=0,解得n=2或1, ∴P点坐标为(-1,2)或(-1,1), ∵顶点D的坐标为(-1,4), ∴PD=4-2=2或PD=4-1=3, ∵点P的速度为每秒1个单位长度, ∴t2=2,t3=3; ③如图4,如果∠BCP=90°,那么BC2+PC2=PB2,
即10+(1+1)2+(n-0)2=(0+1)2+(n-3)2, 化简整理得6n=-4,解得n=-, ∴P点坐标为(-1,-), ∵顶点D的坐标为(-1,4), ∴PD=4+=, ∵点P的速度为每秒1个单位长度, ∴t4=; 综上可知,当t为秒或2秒或3秒或秒时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形. 考点: 二次函数综合题. |
据专家权威分析,试题“如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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