已知抛物线y=x2+bx+c过点(-6,-2),与y轴交于点C,且对称轴与x轴交于点B(-2,0),顶点为A.(1)求该抛物线的解析式和A点坐标;(2)若点D是该抛物线上的一个动点,且使△DBC是以B为-九年级数学 |
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[db:作者] 2019-05-21 00:00:00 互联网 |
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题文
已知抛物线y=x2+bx+c过点(-6,-2),与y轴交于点C,且对称轴与x轴交于点B(-2,0),顶点为A. (1)求该抛物线的解析式和A点坐标; (2)若点D是该抛物线上的一个动点,且使△DBC是以B为直角顶点BC为腰的等腰直角三角形,求点D坐标; (3)若点M是第二象限内该抛物线上的一个动点,经过点M的直线MN与y轴交于点N,是否存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等?若存在,请求出直线MN的解析式;若不存在,请说明理由.
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题型:解答题 难度:中档
答案
(1)A点的坐标为(﹣2,6); (2)D点的坐标为:(2,﹣2); (3)存在.直线MN的解析式为y=6或y=﹣x+2. |
试题分析:(1)首先依据顶点坐标先求出b的值,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式; (2)过B点作CB的垂线交抛物线与D,然后过D点作x轴的垂线,垂足为E,通过三角形全等即可求得点D的坐标. (3)由于三角形的各边,只有OB=2是确定长度的,因此可以以OB为基准进行分类讨论: ①OB=OM.因为第二象限内点P到原点的距离均大于4,因此OB≠OM,此种情形排除; ②OB=ON.分析可知,只有如答图2所示的情形成立; ③OB=MN.分析可知,只有如答图3所示的情形成立. 试题解析:(1)∵对称轴与x轴交于点B(﹣2,0), ∴A的横坐标为:x=﹣2, ∴﹣=﹣2, 解得;b=﹣2, ∴抛物线为y=﹣x2﹣2x+c, ∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点(﹣6,﹣2), ∴代入得﹣2=﹣×(﹣6)2﹣2×(﹣6)+c,解得c=4, ∴该抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+4, ∴y=﹣x2﹣2x+4=﹣(x2+4x+4)+6)=﹣(x+2)2+6 ∴A点的坐标为(﹣2,6); (2)过B点作CB的垂线交抛物线与D,然后过D点作x轴的垂线,垂足为E, ∵∠CBD=90°, ∴∠CBO+∠EBD=90°, ∵∠BCO+∠CBO+90°, ∴∠EBD=∠BCO,∠CBO=∠BDE, ∴在△CBO与△BDE中
∴△CBO≌△BDE(ASA) ∴DE=OB=2,BE=OC=4 ∴D点的坐标为(2,﹣2)或(﹣6.2), 把(2,﹣2)或(﹣6.2)分别代入y=﹣x2﹣2x+4,(﹣2,2)合适,(﹣6,2)不合适, ∴D点的坐标为:(2,﹣2)
图1 (3)存在. 若以O、M、N为顶点的三角形与△OBM全等,可能有以下情形: (I)OB=OM. 由图象可知,OM最小值为4,即OM≠OB,故此种情形不存在. (II)OB=ON. 若点M在y轴正半轴上,如答图2所示:
图2 此时△OBM≌△OMN, ∴∠OMB=∠OMN,即点P在第二象限的角平分线上,ON=OB=2,M点坐标为:(4,4), ∴直线PE的解析式为:y=﹣x+2; 若点E在y轴负半轴上,易知此种情形下,两个三角形不可能全等,故不存在. (III)OB=MN. ∵OB=2, ∴第二象限内对称轴左侧的点到y轴的距离均大于2, 则点M只能位于对称轴右侧或与顶点A重合. 若点M位于第二象限内抛物线对称轴的右侧,易知△OMN为钝角三角形,而△OMB为锐角三角形,则不可能全等; 若点M与点A重合,如答图3所示,此时△OBM≌△OMN,四边形MNOB为矩形,
图3 ∴直线MN的解析式为:y=6. 综上所述,存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等,直线MN的解析式为y=6,y=﹣x+2. |
据专家权威分析,试题“已知抛物线y=x2+bx+c过点(-6,-2),与y轴交于点C,且对称轴与x轴交..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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