题文
如图,二次函数的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0),交y轴于C(0,﹣2),过A,C画直线. (1)求二次函数的解析式; (2)点P在x轴正半轴上,且PA=PC,求OP的长; (3)点M在二次函数图象上,以M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H. ①若M在y轴右侧,且△CHM∽△AOC(点C与点A对应),求点M的坐标; ②若⊙M的半径为 ,求点M的坐标.
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题型:解答题 难度:偏难
答案
(1)抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2; (2)OP=; (3)①M′(,), ②点M的坐标为(,3+)或(,3﹣). |
试题分析:(1)根据与x轴的两个交点A、B的坐标,设出二次函数交点式解析式y=a(x+1)(x﹣2),然后把点C的坐标代入计算求出a的值,即可得到二次函数解析式; (2)设OP=x,然后表示出PC、PA的长度,在Rt△POC中,利用勾股定理列式,然后解方程即可; (3)①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO,然后分(i)点H在点C下方时,利用同位角相等,两直线平行判定CM∥x轴,从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同,是﹣2,代入抛物线解析式计算即可;(ii)点H在点C上方时,根据(2)的结论,点M为直线PC与抛物线的另一交点,求出直线PC的解析式,与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标; ②在x轴上取一点D,过点D作DE⊥AC于点E,可以证明△AED和△AOC相似,根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度,然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度,从而得到点D的坐标,再作直线DM∥AC,然后求出直线DM的解析式,与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标. 试题解析:(1)设该二次函数的解析式为:y=a(x+1)(x﹣2), 将x=0,y=﹣2代入,得﹣2=a(0+1)(0﹣2), 解得a=1, ∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x﹣2), 即y=x2﹣x﹣2; (2)设OP=x,则PC=PA=x+1, 在Rt△POC中,由勾股定理,得x2+22=(x+1)2, 解得,x=, 即OP=; (3)①∵△CHM∽△AOC, ∴∠MCH=∠CAO, (i)如图1,当H在点C下方时, ∵∠OAC+∠OCA=90°,∠MCH=∠OAC ∴∠OCA+∠MCH=90° ∴∠OCM=90°=∠AOC ∴CM∥x轴 ∴yM=﹣2, ∴x2﹣x﹣2=﹣2, 解得x1=0(舍去),x2=1, ∴M(1,﹣2), (ii)如图1,当H在点C上方时, ∵∠MCH=∠CAO, ∴PA=PC,由(2)得,M′为直线CP与抛物线的另一交点, 设直线CM的解析式为y=kx﹣2, 把P(,0)的坐标代入,得k﹣2=0, 解得k=, ∴y=x﹣2, 由x﹣2=x2﹣x﹣2, 解得x1=0(舍去),x2=, 此时y=×﹣2=, ∴M′(,), ②在x轴上取一点D,如图(备用图),过点D作DE⊥AC于点E,使DE=, 在Rt△AOC中,AC==, ∵∠COA=∠DEA=90°,∠OAC=∠EAD, ∴△AED∽△AOC, ∴, 解得AD=2, ∴D(1,0)或D(﹣3,0). 过点D作DM∥AC,交抛物线于M,如图(备用图) 则直线DM的解析式为:y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6, 当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时,即x2+x+4=0,方程无实数根, 当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时,即x2+x﹣4=0,解得x1=,x2=, ∴点M的坐标为(,3+)或(,3﹣).
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据专家权威分析,试题“如图,二次函数的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0),交y轴于C(0,﹣2..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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