如图所示的抛物线是把y=-x2经过平移而得到的．这时抛物线过原点O和x轴正向上一点A，顶点为P，∠OPA=90°；①求抛物线的顶点P的坐标及解析表达式；②求如图所示的抛物线对应的二次-数学打印页面

如图所示的抛物线是把y=-x2经过平移而得到的．这时抛物线过原点O和x轴正向上一点A，顶点为P，∠OPA=90°；①求抛物线的顶点P的坐标及解析表达式；②求如图所示的抛物线对应的二次-数学

[db:作者] 2019-05-21 00:00:00 互联网

题文

如图所示的抛物线是把y=-x²经过平移而得到的．这时抛物线过原点O和x轴正向上一点A，顶点为P，∠OPA=90°；
①求抛物线的顶点P的坐标及解析表达式；
②求如图所示的抛物线对应的二次函数在-
1
2
≤x≤
1
2
时的最大值和最小值．
题型：解答题难度：中档

答案

（1）∵抛物线由y=-x²平移得到，
∴设y=-（x-a）²+b（a＞0）
∵抛物线过（0，0），代入得0=-a²+b，
∴b=a²，y=-（x-a）²+a²
过P作PM⊥x轴于M，OM=a，PM=a²
∵P是抛物线顶点，
∴PO=PA，
∴OM=AM，PM=
OA
2
=OM，
∴a²=a，
∴a=1或a=0（舍去），
∴P（1，1），抛物线的解析式为y=-（x-1）²+1=-x²+2x；

（2）∵由（1）可知抛物线的顶点P（1，1），解析式为y=-（x-1）²+1=-x²+2x，
∴抛物线对应的二次函数在-
1
2
≤x≤
1
2
时，当x=
1
2
时，y_最大=-
1
4
+2×
1
2
=
3
4
；
当x=-
1
2
时，y_最小=
1
4
-2×
1
2
=-
3
4
．

据专家权威分析，试题“如图所示的抛物线是把y=-x2经过平移而得到的．这时抛物线过原点O和..”主要考查你对二次函数的定义等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义

考点名称：二次函数的定义

定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：（a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。
二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。

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