解:(1)设线段AB与y轴的交点为C,由抛物线的对称性可得C为AB中点, ∵OA=OB=,∠AOB=90°, ∴AC=OC=BC=2, ∴B(2,-2) 将B(2,-2)代入抛物线y=ax2(a<0)得,a=-, (2):过点A作AE⊥x轴于点E, ∵点B的横坐标为1, ∴B(1,-), ∴BF= 又∵∠AOB=90°,易知∠AOE=∠OBF, 又∠AEO=∠OFB=90°, ∴△AEO∽△OFB, ∴, ∴AE=2OE 设点A(-m,-m2)(m>0),则OE=m,AE=m2, ∴m2=2m, ∴m=4,即点A的横坐标为-4; (3)设A(-m,-m2)(m>0),B(n,-n2)(n>0), 设直线AB的解析式为:y=kx+b,则 (1)×n+(2)×m得,(m+n)b=-(m2n+mn2)=-mn(m+n), ∴b=-mn 又易知△AEO∽△OFB, ∴, ∴, ∴mn=4 ∴ b=-×4=-2, 由此可知不论k为何值,直线AB恒过点(0,-2)。 |