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在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2+(m-3)x-3(m>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C。(1)求点A的坐标;(2)当∠ABC=45°时,求m的值;(3)已知一次函数-九年级数学

[db:作者]  2019-05-20 00:00:00  零零社区

题文

在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2+(m-3)x-3(m>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C。
(1)求点A的坐标;
(2)当∠ABC=45°时,求m的值;
(3)已知一次函数y=kx+b,点P(n,0)是x轴上的一个动点,在(2)的条件下,过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交二次函数y=mx2+(m-3)x-3(m>0)的图象于N,若只有当-2<n<2时,点M位于点N的上方,求这个一次函数的解析式

题型:解答题  难度:偏难

答案

解:(1)∵ 点A、B是二次函数y=mx2+(m-3)x-3 (m>0)的图象与x轴的交点,
∴令y=0,即mx2+(m-3)x-3=0,
解得x1=-1, x2=
又∵点A在点B左侧且m>0,
∴点A的坐标为(-1,0);

(2)由(1)可知点B的坐标为(,0),
∵二次函数的图象与y轴交于点C,
∴点C的坐标为(0,-3),
∵∠ABC=45°,
=3,
∴m=1;
(3) 由(2)得,二次函数解析式为y=x2-2x-3,
依题意并结合图象 可知,一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为-2和2,由此可得交点坐标为(-2,5)和(2,-3),
将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+b中,
得-2k+b=5,且2k+b=-3,
解得k=-2,b=1,
∴一次函数的解析式为y=-2x+1。

据专家权威分析,试题“在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2+(m-3)x-3(m>0)的图象与x轴..”主要考查你对  二次函数的图像,求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

二次函数的图像求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称:二次函数的图像

  • 二次函数的图像
    是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
    抛物线的主要特征:
    ①有开口方向,a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上;a<0时,抛物线开口向下;
    ②有对称轴;
    ③有顶点;
    ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c)。

  • 二次函数图像性质:
    轴对称:

    二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
    对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
    特别地,当b=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。
    a,b同号,对称轴在y轴左侧
    b=0,对称轴是y轴
    a,b异号,对称轴在y轴右侧

    顶点:
    二次函数图像有一个顶点P,坐标为P ( h,k )
    当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
    h=-b/2a, k=(4ac-b^2)/4a。

    开口:
    二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
    当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
    |a|越大,则二次函数图像的开口越小。

  • 决定对称轴位置的因素:
    一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
    当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0,所以a、b要同号
    当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
    可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 ),对称轴在y轴右。
    事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

    决定与y轴交点的因素:

    常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
    二次函数图像与y轴交于(0,C)
    注意:顶点坐标为(h,k), 与y轴交于(0,C)。

    与x轴交点个数:
    a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点。
    k=0时,二次函数图像与x轴只有1个交点。
    a<0;k<0或a>0,k>0时,二次函数图像与X轴无交点。
    当a>0时,函数在x=h处取得最小值ymin=k,在x<h范围内是减函数,在x>h范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向上,函数的值域是y>k
    当a<0时,函数在x=h处取得最大值ymax=k,在x<h范围内是增函数,在x>h范围内是减函数(即y随x的变大而变大),二次函数图像的开口向下,函数的值域是y<k
    当h=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数。

考点名称:求一次函数的解析式及一次函数的应用

  • 待定系数法求一次函数的解析式:
    先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中的未知系数,从而得到函数的解析式的方法。

    一次函数的应用:
    应用一次函数解应用题,一般是先写出函数解析式,在依照题意,设法求解。
    (1)有图像的,注意坐标轴表示的实际意义及单位;
    (2)注意自变量的取值范围。

  • 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤:
    第一步(设):设出函数的一般形式。(称一次函数通式)
    第二步(代):代入解析式得出方程或方程组。
    第三步(求):通过列方程或方程组求出待定系数k,b的值。
    第四步(写):写出该函数的解析式。

    一次函数的应用涉及问题:
    一、分段函数问题
    分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符
    合实际。

    二、函数的多变量问题
    解决含有多变量问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中一个变量作为自变量,然后根据问题的条件寻
    求可以反映实际问题的函数

    三、概括整合
    (1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用。
    (2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

    生活中的应用:

    1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
    2.如果水池抽水速度f一定,水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
    3.当弹簧原长度b(未挂重物时的长度)一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+b(k为任意正数)

  • 一次函数应用常用公式:
    1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
    2.求与x轴平行线段的中点:(x1+x2)/2
    3.求与y轴平行线段的中点:(y1+y2)/2
    4.求任意线段的长:√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]
    5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式
    两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
    6.求任意2点所连线段的中点坐标:[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
    7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0,则分子为0)
    (x,y)为 + ,+(正,正)时该点在第一象限
    (x,y)为 - ,+(负,正)时该点在第二象限
    (x,y)为 - ,-(负,负)时该点在第三象限
    (x,y)为 + ,-(正,负)时该点在第四象限
    8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2,则k1=k2,b1≠b2
    9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,则k1×k2=-1
    10.
    y=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
    y=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
    y=kx+b+n就是向上平移n个单位
    y=kx+b-n就是向下平移n个单位
    口决:左加右减相对于x,上加下减相对于b。
    11.直线y=kx+b与x轴的交点:(-b/k,0) 与y轴的交点:(0,b)



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