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如图所示，已知抛物线y=x2-4x+3与x轴交于两点A、B，其顶点为C。（1）对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上？请说明理由；（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）已知点D在x轴-九年级数学
[db:作者]  2019-05-20 00:00:00  零零社区

题文

如图所示，已知抛物线y=x2-4x+3与x 轴交于两点A、B，其顶点为C。
（1）对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上？请说明理由；
（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）假如点M（m，-2）在该抛物线上，则-2=m2-4m+3，
m2-4m+5=0，
由于△=（-4）2-4×1×5=-4＜0，
此方程无实数解，
所以点M（m，-2）不会在该抛物线上；
（2）当y=0时，x2-4x+3=0，x1=1，x2=3，
由于点A在点B左侧，
∴A（1，0），B（3，0）
y= x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴顶点C的坐标是（2，-1），
由勾股定理得，AC=，BC=，AB=2，
∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（3）存在这样的点P. 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，
因此连接点P与点C的线段应被x轴平分，
∴点P的纵坐标是1，
∵点P在抛物线y= x2-4x+3上，
∴当y=1时，即x2-4x+3=1，
解得x1=2-，x2=2+，
∴点P的坐标是（2-，1）或（2+，1）。

据专家权威分析，试题“如图所示，已知抛物线y=x2-4x+3与x轴交于两点A、B，其顶点为C。（..”主要考查你对  二次函数的图像，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像等腰三角形的性质，等腰三角形的判定平行四边形的判定

考点名称：二次函数的图像

  • 二次函数的图像
    是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
    抛物线的主要特征：
    ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
    ②有对称轴；
    ③有顶点；
    ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

  • 二次函数图像性质：
    轴对称：
    二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
    对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
    特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
    a,b同号，对称轴在y轴左侧
    b=0,对称轴是y轴
    a,b异号，对称轴在y轴右侧

    顶点：
    二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
    当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
    h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。

    开口：
    二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
    当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
    |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

  • 决定对称轴位置的因素：
    一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
    当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
    当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
    可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
    事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

    决定与y轴交点的因素:
    常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
    二次函数图像与y轴交于（0,C）
    注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。

    与x轴交点个数：
    a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
    k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
    a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。
    当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k
    当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x<h范围内是增函数，在x>h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k
    当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

  • 定义：
    有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质：
    1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
    2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
    7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定：
    1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
    3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：平行四边形的判定

  • 平行四边形的判定：
    （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
    （2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
    （3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
    （4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
    （5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
    平行四边形的面积：S=底×高。
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