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已知二次函数y=x2+bx-3的图象经过点P（-2，5）。（1）求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；（2）设P1（m，y1）、P（m+1，y2）、P（m+2，y3）在这个二次函数的图象上，①当m=4时，y1，y2，-九年级数学
[db:作者]  2019-05-20 00:00:00  互联网

题文

已知二次函数y=x2+bx-3的图象经过点P（-2，5）。
（1）求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2）设P1（m，y1）、P（m+1，y2）、P（m+2，y3）在这个二次函数的图象上，
①当m=4时，y1，y2，y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1，y2，y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由。
题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）由题意得：4-2b-3=5
∴b=-2
则y=x2-2x-3=（x-1）2-4
∴当1＜x≤3时，-4＜y≤0；
（2）y1= m2-2m-3
y2= （m+1）2-2（m+1）-3=m2-4
y3= （m+2）2-2（m+2）-3= m2+2m-3
① 当m=4时，y1=5，y2=12，y3=21
∵5+12＜21
∴不能作为同一个三角形三边的长；
②当m≥5时，
∵m＜m+1＜m+2，
而函数当x≥1时y随x增大而增大
∴y1＜y2＜y3
y1+y2- y3= （m2-2m-3）+ （m2-4）- （m2+2m-3）=m2-4m-4=（m-2）2-8≥1＞0
∴一定能作为同一个三角形三边的长。

据专家权威分析，试题“已知二次函数y=x2+bx-3的图象经过点P（-2，5）。（1）求b的值并写出当..”主要考查你对  二次函数的图像，三角形的三边关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像三角形的三边关系

考点名称：二次函数的图像

  • 二次函数的图像
    是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
    抛物线的主要特征：
    ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
    ②有对称轴；
    ③有顶点；
    ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

  • 二次函数图像性质：
    轴对称：
    二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
    对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
    特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
    a,b同号，对称轴在y轴左侧
    b=0,对称轴是y轴
    a,b异号，对称轴在y轴右侧

    顶点：
    二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
    当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
    h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。

    开口：
    二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
    当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
    |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

  • 决定对称轴位置的因素：
    一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
    当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
    当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
    可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
    事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

    决定与y轴交点的因素:
    常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
    二次函数图像与y轴交于（0,C）
    注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。

    与x轴交点个数：
    a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
    k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
    a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。
    当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k
    当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x<h范围内是增函数，在x>h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k
    当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。

考点名称：三角形的三边关系

  • 三角形的三边关系：
    在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。
    设三角形三边为a,b,c
    则
    a+b>c
    a+c>b
    b+c>a
    a-b<c
    a-c<b
    b-c<a
    在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。
    则两直角边的平方和等于斜边平方。
    在等边三角形中，a=b=c
    在等腰三角形中， a,b为两腰，则a=b
    在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下，c2=a2+b2-2abcosc

  • 三角形的三边关系定理及推论：
    （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
    推论：三角形的两边之差小于第三边。
    （2）三角形三边关系定理及推论的作用：
    ①判断三条已知线段能否组成三角形；
    ②当已知两边时，可确定第三边的范围；
    ③证明线段不等关系。
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