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小明为了通过描点法作出函数y=x2-x+1的图象，先取自变量x的7个值满足：x2-x1=x3-x2=…=x7-x6=d，再分别算出对应的y值，列出表：xx1x2x3x4x5x6x7y13713213143记m1=y2-y1，m2=y3--数学
[db:作者]  2019-05-20 00:00:00  互联网

题文

小明为了通过描点法作出函数y=x2-x+1的图象，先取自变量x的7个值满足：
x2-x1=x3-x2=…=x7-x6=d，再分别算出对应的y值，列出表：
 x  x1 x2  x3  x4 x5  x6 x7
 y  1 3   7 13  21  31   43
记m1=y2-y1，m2=y3-y2，m3=y4-y3，m4=y5-y4，…；s1=m2-m1，s2=m3-m2，s3=m4-m3，…
（1）判断s1、s2、s3之间关系，并说明理由；
（2）若将函数“y=x2-x+1”改为“y=ax2+bx+c（a≠0）”，列出表：
x  x1  x2  x3  x4 x5 x6  x7
 y  y1  y2 y3 y4 y5 y6  y7
其他条件不变，判断s1、s2、s3之间关系，并说明理由；
（3）小明为了通过描点法作出函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，列出表：
 x  x1 x2  x3  x4 x5  x6 x7
 y  10 50   110 190  290  412   550
由于小明的粗心，表中有一个y值算错了，请指出算错的y值（直接写答案）．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）s1=s2=s3．m1=y2-y1=3-1=2，
同理m2=4，m3=6，m4=8．
∴s1=m2-m1=4-2=2，
同理s2=2，s3=2．
∴s1=s2=s3．

（2）s1=s2=s3．
方法一：m1=y2-y1=ax22+bx2+c-（ax12+bx1+c）
=d[a（x2+x1）+b]．
m2=y3-y2=ax32+bx3+c-（ax22+bx2+c）
=d[a（x3+x2）+b]．
同理m3=d[a（x4+x3）+b]．
m4=d[a（x5+x4）+b]．
s1=m2-m1=d[a（x3+x2）+b]-d[a（x2+x1）+b]
=2ad2．
同理s2=2ad2．
s3=2ad2．
∴s1=s2=s3．
方法二：∵x2-x1=d，
∴x2=x1+d，
∴m1=y2-y1=a（x1+d）2+b（x1+d）+c-（ax12+bx1+c）
=d[a（2x1+d）+b]．
又∵x3-x2=d，
∴x3=x2+d，
∴m2=y3-y2=a（x2+d）2+b（x2+d）+c-（ax22+bx2+c）
=d[a（2x2+d）+b]．
同理m3=d[a（2x3+d）+b]．
m4=d[a（2x4+d）+b]．
s1=m2-m1=d[a（2x2+d）+b]-d[a（2x1+d）+b]
=2ad2．
同理s2=2ad2．s3=2ad2．
∴s1=s2=s3．

（3）412．

据专家权威分析，试题“小明为了通过描点法作出函数y=x2-x+1的图象，先取自变量x的7个值..”主要考查你对  二次函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像

考点名称：二次函数的图像

  • 二次函数的图像
    是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
    抛物线的主要特征：
    ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
    ②有对称轴；
    ③有顶点；
    ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

  • 二次函数图像性质：
    轴对称：
    二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
    对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
    特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
    a,b同号，对称轴在y轴左侧
    b=0,对称轴是y轴
    a,b异号，对称轴在y轴右侧

    顶点：
    二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
    当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
    h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。

    开口：
    二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
    当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
    |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

  • 决定对称轴位置的因素：
    一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
    当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
    当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
    可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
    事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

    决定与y轴交点的因素:
    常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
    二次函数图像与y轴交于（0,C）
    注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。

    与x轴交点个数：
    a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
    k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
    a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。
    当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k
    当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x<h范围内是增函数，在x>h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k
    当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/118/2019-12-18/1873349.html十二生肖
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