已知矩形ABCD中，AB=4，对角线BD=2AB，且BE平分∠ABD，点P从点D以每秒2个单位沿DB方向向点B运动，点Q从点B以每秒1个单位沿BA方向向点A运动，设运动时间为t秒，△BPQ的面积为S．-数学打印页面

已知矩形ABCD中，AB=4，对角线BD=2AB，且BE平分∠ABD，点P从点D以每秒2个单位沿DB方向向点B运动，点Q从点B以每秒1个单位沿BA方向向点A运动，设运动时间为t秒，△BPQ的面积为S．-数学

[db:作者] 2019-05-20 00:00:00 零零社区

题文

已知矩形ABCD中，AB=4，对角线BD=2AB，且BE平分∠ABD，点P从点D以每秒2个单位沿DB方向向点B运动，点Q从点B以每秒1个单位沿BA方向向点A运动，设运动时间为t秒，△BPQ的面积为S．
（1）若t=2时，求证：△DBA∽△PBQ；
（2）求S关于t的函数关系式及S的最大值；
（3）在运动的过程中，△BQM能否成为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档

答案

（1）∵t=2，
∴BQ=2，PB=4，
∴
BQ
BA
=
BP
BD
，∠PBQ=∠PBQ，
∴△PBQ∽△DBA；

（2）过点Q作△PBQ的高h，
则S_△PBQ=
1
2
PB?h=-
3
2
t²+2
3
t=-
3
2
（t-2）²+2
3
，
∴当t=2时，Smax=2
3
；

（3）分三种情况讨论：
①当∠QBM=∠BMQ=30°时，有：
∠AQM=60°=∠ABD，
∴PQ∥BD，
∴与题意矛盾，不存在；
②当∠QBM=∠BQM=30°时，如图，则
BQ=2PB即2（8-2t）=t，得t=
16
5
≤4；
③当∠BQM=∠BMQ=75°时，如图，
作QF⊥BP，则：PB=BF+PF=BF+QF=
1
2
t+
3
2
t=8-2t，
得：t=
16
3
+5
=
40-8
3
11
≤4，
∴当t=
16
5
或t=
40-8
3
11
时，△BQM成为等腰三角形．

据专家权威分析，试题“已知矩形ABCD中，AB=4，对角线BD=2AB，且BE平分∠ABD，点P从点D以..”主要考查你对二次函数的最大值和最小值等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的最大值和最小值

考点名称：二次函数的最大值和最小值

二次函数的最值：
1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x₁ 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x₁时，，当x=x₂时。

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